3. 特征数字法

速记	内容
一句话	r 接近 1/n 时转分数，乘除变约分
识别信号	12.5%、16.7%、11.1%、8.3%、33.3%、25%…
核心动作	r=1/n ⇒ 增长量=A÷(n+1)，基期=A×n/(n+1)
失效边界	|r−1/n|过大（相对误差约 n|η|）或选项极密时改直除

3.1 底层原理

恒等： $r=1/n\Rightarrow 1+r=\frac{n+1}{n},\frac{r}{1+r}=\frac{1}{n+1}$。
对偶分割： $A_0+\Delta A=A$，占比 $n/(n+1)$ 与 $1/(n+1)$。
敏感度： 用 1/n 代替真 r 时，增长量相对误差约 $n|\eta |$（$\eta =r-1/n$）。
推广： $r=k/n\Rightarrow \Delta A=A\cdot \frac{k}{n+k}$（如 37.5%=3/8 ⇒ ×3/11）。

3.1b 零基础：先背「份」，不要死背表

核心句： 把增长率写成分数后，现期被分成「基期的份数 + 增长的份数」。

增长率	怎么理解成份数	基期占现期	增长量占现期
20%=1/5	基期 5 份，涨 1 份	5/6	1/6
25%=1/4	基期 4 份，涨 1 份	4/5	1/5
12.5%=1/8	基期 8 份，涨 1 份	8/9	1/9
33.3%≈1/3	基期 3 份，涨 1 份	3/4	1/4

做题口诀：
看到 12.5% 想「1/8」→ 增长量=现期÷9 → 基期=现期×8/9。

下降怎么记：
−20%=−1/5：现在是「基期 5 份里少了 1 份」⇒ 现期=4 份 ⇒ 下降量=现期÷4（分母是 5−1=4）。

必背表（考频）：
50%=1/2，33.3%=1/3，25%=1/4，20%=1/5，16.7%≈1/6，14.3%≈1/7，12.5%=1/8，11.1%≈1/9，10%=1/10，9.1%≈1/11，8.3%≈1/12，6.7%≈1/15，5%=1/20。
高阶：66.7%≈2/3，37.5%=3/8，62.5%=5/8。

3.2 例题精练（8 道）

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例 3.1｜12.5%

• 题： 粮食 7200 万吨，+12.5%，增长量？
• 项： A. 720　B. 800　C. 880　D. 960
• 答： B
• 解： 7200÷9=800。

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例 3.2｜16.7% 求基期

• 题： 人口 540 万，+16.7%，上年？
• 项： A. 450　B. 462　C. 480　D. 500
• 答： B
• 解： 540×6/7≈462.9，最接近 B（462）。

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例 3.3｜25%

• 题： 电商 9600 亿，+25%，增长量？
• 项： A. 1600　B. 1920　C. 2400　D. 2880
• 答： B
• 解： 9600÷5=1920。

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例 3.4｜10%

• 题： 快递 330 亿件，+10%，增长量？
• 项： A. 27　B. 30　C. 33　D. 36
• 答： B
• 解： 330÷11=30。

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例 3.5｜33.3%

• 题： 旅游收入 8100 亿，+33.3%，增长量？
• 项： A. 1620　B. 2025　C. 2430　D. 2700
• 答： B
• 解： 8100÷4=2025。

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例 3.6｜37.5%=3/8（推广）

• 题： 某指标 4400，+37.5%，增长量？
• 项： A. 1100　B. 1200　C. 1320　D. 1600
• 答： B
• 解： r=3/8 ⇒ ΔA=4400×3/(8+3)=4400×3/11=1200。
• 拨： 不必只会 1/n，k/n 同样一次算完。

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例 3.7｜62.5%=5/8 求基期

• 题： 现期 5200，+62.5%，基期？
• 项： A. 2800　B. 3000　C. 3200　D. 3600
• 答： C
• 解： r=5/8 ⇒ A₀=5200×8/(8+5)=5200×8/13=3200。

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例 3.8｜8.3%

• 题： 民用汽车 7800 万辆，+8.3%，增长量？
• 项： A. 500　B. 550　C. 600　D. 650
• 答： C
• 解： 8.3%≈1/12 ⇒ 7800÷13=600。

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