10. 分数比较（谁大谁小）
| 速记 | 内容 |
|---|---|
| 一句话 | 只比序：首位直除 / 差分 / 交叉相乘 / 同位比较（化同） / 比 A/A₀ |
| 识别信号 | 「最大/最小/最快/最慢」 |
| 核心动作 | 先扫首位；很近用差分或交叉乘；能化同用同位比较 |
| 失效边界 | 差到 10⁻⁴ 时差分不稳，必须交叉乘 |
10.1 底层原理
保序变换： 不等式两边同加常数、同乘正数不改序（注意：不是分数的分子分母同加——分子分母同加会改变分数值，见 §25.5 错位加减）。
增速： ⇒ 比 。
交叉乘： （正数）。
差分数位置（纠正「夹逼」误称）： 设 c/d 与 a/b 比较且 c>a、d>b，差分数 (c−a)/(d−b) 不在两分数之间，而是与「分子分母都更大」的分数在同一侧；判大小用：。（真正的夹逼是中间量 ：。） 同位比较（化同）： 分子（或分母）化成相同后比另一边；考点清单称「同位比较法」。
10.2 例题精练（8 道）
例 10.1｜增速最快
- 题： 2014—2018 年产量分别为 3200, 3300, 3500, 3620, 3700，哪一年增速最快？
- 答： 2016
- 解： 比 A/A₀：2015=1.031，2016=1.061，2017=1.034，2018=1.022 ⇒ 2016。
例 10.2｜极近用交叉乘
- 题： 417/812 与 395/769？
- 答： 乙大
- 解： 417×769=320673；395×812=320740。
例 10.3｜差分
- 题： 317/621 与 332/653？
- 答： 332/653 更小
- 解： 差分 15/32=0.469 < 0.510。
例 10.4｜增长量最大
- 题： 甲 7000 增 4%；乙 5500 增 7%；丙 4000 增 11%。
- 答： 丙
- 解： 现期×r/(1+r)：7000×4%/1.04≈269，5500×7%/1.07≈359，4000×11%/1.11≈396 ⇒ 丙最大。
例 10.5｜比重最高
- 题： A 1250/4800；B 980/3600；C 1560/6500；D 860/3400。
- 答： B
- 解： 26.0% / 27.2% / 24.0% / 25.3%。
例 10.6｜同位比较法（化同）
- 题： 3/7 与 5/11？
- 答： 5/11 更大
- 解： 分子化 15：15/35 与 15/33，分母小者大。
例 10.7｜首位直除扫四选项
- 题： 下列最小：A 2870/590 B 2650/560 C 3120/670 D 2410/520
- 答： D
- 解： 首位约 4.86 / 4.73 / 4.66 / 4.63。
例 10.8｜下降速度比较
- 题： 甲 从 1200 到 1080；乙 从 950 到 855。谁降得快？
- 答： 一样快
- 解： 比 现期/基期：1080/1200=0.90；855/950=0.90，降幅都是 10%。
- 拨： 比「现期÷基期」即可，不必先算百分数。