5. 小增长率近似（基期放缩 · 化除为乘）

速记	内容
一句话	|r| 小时 基期≈A(1−r)（增长）或 A(1+|r|)（下降）
识别信号	|r|≤5% 且选项间距 ≥3%，求基期
核心动作	算 A·r 做加减
失效边界	相对误差≈r²；近似值落在选项中点附近必须改直除

5.1 底层原理

几何级数： $\frac{1}{1+r}=1-r+r^2-\cdots$
精确余项： $\frac{1}{1+r}-(1-r)=\frac{r^2}{1+r}$
单侧偏差： r>0 时近似把基期估小。
合法条件： $r^2<\epsilon /|x|$（ε 为绝对半间距，ε/|x| 为相对半间距）。

5.1b 零基础：小 r 近似怎么算

只有两步：

1. 算「现期 × r」= 大约多出来/少掉的量
2. 求基期：涨了 r → 基期 ≈ 现期 −（现期×r）；跌了 r → 基期 ≈ 现期 +（现期×r）

例子： 现期 6800，涨 4.2%
6800×4.2%=285.6 ⇒ 基期≈6800−285.6=6514。

什么时候不敢用： 算出来的数正好卡在两个选项中间附近，就改用截位直除。
经验：r=1%、2% 很放心；r=5% 且选项很挤时不放心。

5.2 例题精练（8 道）

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例 5.1｜3.5%

• 题： 现期 3529.6，+3.5%，基期？
• 项： A. 3380　B. 3410　C. 3480　D. 3650
• 答： B
• 解： 3529.6−123.5≈3406；真值 3410。

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例 5.2｜4.2%

• 题： 现期 6800，+4.2%，基期？
• 项： A. 6480　B. 6520　C. 6600　D. 6900
• 答： B
• 解： 近似 6514；真值 6526，最接近 B（6520）。

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例 5.3｜下降 2.8%

• 题： 现期 4500，−2.8%，上年？
• 项： A. 4360　B. 4500　C. 4630　D. 4800
• 答： C
• 解： 4500×1.028≈4626。

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例 5.4｜1.6%

• 题： 现期 9200，+1.6%，基期？
• 项： A. 9000　B. 9055　C. 9100　D. 9200
• 答： B
• 解： 近似 9053；真值 9055。

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例 5.5｜4.8%（近似偏小）

• 题： 现期 15600，+4.8%，基期？
• 项： A. 14800　B. 14890　C. 15000　D. 15200
• 答： B
• 解： 近似 14851（偏小）；直除 14885，最接近 B（14890）。
• 拨： 单侧偏差，近似不够时立刻直除。

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例 5.6｜2% 很安全

• 题： 现期 9500，+2%，基期？
• 项： A. 9200　B. 9310　C. 9400　D. 9600
• 答： B
• 解： 9500−190=9310；真值 9500/1.02≈9313.7。

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例 5.7｜1% 极安全

• 题： 现期 8800，+1%，基期？
• 项： A. 8600　B. 8710　C. 8800　D. 8900
• 答： B
• 解： 8800−88=8712；真值≈8712.9，最接近 B（8710）。

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例 5.8｜边界：何时不能单靠近似

• 题： 现期 10000，+5%，基期？
• 项： A. 9480　B. 9500　C. 9524　D. 9600
• 答： C
• 解： 近似 9500，恰好落在错误选项 B 上（与 B 差 0、与 C 差 24）；真值≈9523.8 在 B/C 中点 9512 的 C 侧。近似误差约 24，已与选项间距同量级，必须直除，选 C。
• 拨： 这是「近似合法边界」的标准反例——近似不但贴中点，还会精确命错误选项。

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