4. 增长量速算

速记	内容
一句话	ΔA = A·r/(1+r) = A÷(1/r+1)；r=1/n 时 =A÷(n+1)
识别信号	「增长/减少了多少」（带单位）；比较增长量大小
核心动作	特征数字则 ÷(n+1)；否则 ÷(1/r+1)
失效边界	比较时必须两因子一起看，不能只比 A 或只比 r

4.1 底层原理

恒等推导： $A=A_0(1+r),\Delta A=A_{0}r\Rightarrow \Delta A=A\frac{r}{1+r}=\frac{A}{1/r+1}$。
下降： $|\Delta A|=A/(1/|r|-1)$（r=−1/n 时分母 n−1）。
单调： $g(r)=\frac{r}{1+r},g^{\prime }=\frac{1}{(1+r{)}^2}>0$。
比较： A 大且 r 大 ⇒ ΔA 必大；一大一小则估乘积首位。

4.1b 零基础：增长量到底用哪个公式？

记忆卡（按题目给什么选）：

题目给什么	用哪个公式	例子
现期 + 增长率，r=1/n	增长量=现期÷(n+1)	7200，12.5% → 7200÷9
现期 + 增长率，一般 r	增长量=现期÷(1/r+1)	9600，18% → 9600÷6.56
基期 + 增长率	增长量=基期×r	基期 5000，r=8% → 400
两个时期都有数	增长量=现期−基期	4560−4120=440

下降： r 是负的时，用 |r|，公式变成 现期÷(1/|r|−1)。
例：−20%=−1/5 → 下降量=现期÷4。

4.2 例题精练（8 道）

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例 4.1｜12.5%

• 题： 工业增加值 8400 亿，+12.5%，增长量？
• 项： A. 840　B. 933　C. 1050　D. 1120
• 答： B
• 解： 8400÷9≈933。

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例 4.2｜11.1%

• 题： 固投 3500 亿，+11.1%，增长量？
• 项： A. 280　B. 315　C. 350　D. 385
• 答： C
• 解： 3500÷10=350。

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例 4.3｜下降 −14.3%

• 题： 预算收入 4200 亿，−14.3%，下降量？
• 项： A. 500　B. 600　C. 700　D. 840
• 答： C
• 解： 4200÷(7−1)=700。
• 拨： 下降用 n−1，不是 n+1。

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例 4.4｜8.3%

• 题： 汽车保有量 12600 万，+8.3%，增长量？
• 项： A. 900　B. 970　C. 1050　D. 1120
• 答： B
• 解： 12600÷13≈969，最接近 B（970）。

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例 4.5｜比较（接近）

• 题： 甲 5200 增 7%；乙 4100 增 11%；丙 3300 增 14%。谁增长量最大？
• 项： A. 甲　B. 乙　C. 丙　D. 无法判断
• 答： B
• 解： A÷(1/r+1)：约 340 / 406 / 405。乙略大于丙（精算 406.3 vs 405.3），选乙。粗估时丙勿写成 407，否则会误选丙。

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例 4.6｜下降 −20%

• 题： 某产品销量 2500，−20%，下降量？
• 项： A. 400　B. 500　C. 625　D. 800
• 答： C
• 解： 20%=1/5 ⇒ 2500÷(5−1)=625。

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例 4.7｜+33.3%

• 题： 指标 6000，+33.3%，增长量？
• 项： A. 1200　B. 1500　C. 1800　D. 2000
• 答： B
• 解： 6000÷4=1500。

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例 4.8｜一般 r

• 题： 现期 9600，+18%，增长量约为？
• 项： A. 1400　B. 1464　C. 1600　D. 1720
• 答： B
• 解： 9600÷(1/0.18+1)=9600÷6.555≈1464。或 9600×0.18/1.18≈1464。

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