理论细化与变体大全（§25）

本章把 §1–§21 的方法拧成「公式族 + 变体谱」，并与《核心考点全清单》《精讲精练题库》对齐。
说明：本机 Web 检索插件当前不可用，变体体系以本地考点清单、题库及公式推导为准整理。

25.1 增长理论网络（先建骨架）

（0）零基础关系图

mermaid

flowchart TD
  A[基期 A0] -->|×1+r| B[现期 A]
  A -->|×r| C[增长量]
  B --> C
  D[增长率 r] --> A
  D --> B

记住一条：现期 = 基期 ×(1+r)；增长量 = 现期 − 基期。

（1）一条定义出发

A = A_{0} (1 + r) = A_{0} + Δ A

由此锁死四个核心量：

量	公式	速算首选
现期	$A_{0} (1 + r)$	特征数字 / 截位
基期	$A / (1 + r)$	r=1/n；\|r\|≤5% 近似；否则直除
增长量	$A_{0} r = A \frac{r}{1 + r} = \frac{A}{1/ r + 1}$	r=1/n ⇒ A÷(n+1)
增长率	$\frac{Δ A}{A _{0}} = \frac{A}{A _{0}} - 1$	比「现期÷基期」

年均族（同一定义的多年版）：

概念	公式	变体陷阱
年均增长量	$(A_{n} - A_{0}) \div n$ ， $n =$ 年份差	2015–2019 年 n=4，不是 5
年均增长率	$(1 + r ˉ)^{n} = \frac{A _{n}}{A _{0}}$	简单平均 $\frac{A _{n} - A _{0}}{n A _{0}}$ 偏高
年均比较	n 相同时只比 $A_{n} / A_{0}$	n 不同不能只比末/基

变体 V1｜年均增长量
2015 年 2327.8，2019 年 3529.6，年均增长量？
(3529.6−2327.8)/4=300.45。

变体 V2｜年均比较
甲末/基=1.5，乙=1.4，n 相同 ⇒ 甲年均更快。

变体 V3｜代入验证年均率
800→1000，n=4，(1+r)⁴=1.25 ⇒ r≈5.7%（可把选项代入比 1.25）。

25.2 隔年 / 乘积——同一个展开式；混合——另一模型（加权平均）

（0）零基础：三种「增长率」怎么分

名称	问什么	怎么算
普通增长率	今年比去年	(今年−去年)/去年
隔年增长率	今年比前年	R=r₁+r₂+r₁×r₂
乘积增长率	总量=两个数相乘时，总量涨多少	同上公式
混合增长率	两部分合成的整体	基期加权平均，落在两者之间，靠近基期大的

白话记隔年： 不是简单把两年增速加起来，还要加上「先涨完再涨」多出来的那一点（乘积项）。
白话记混合： 不是相乘，是「两锅汤倒一起」——整体增速落在两部分之间，没有 r₁r₂ 交叉项。

（1）统一母式（仅适用于隔年 / 乘积）

(1 + r_{1}) (1 + r_{2}) = 1 + r_{1} + r_{2} + r_{1} r_{2} \Rightarrow R = r_{1} + r_{2} + r_{1} r_{2}

考点	r₁、r₂ 是什么	公式
隔年增长率	连续两年的同比增速	$R = r_{1} + r_{2} + r_{1} r_{2}$
间隔基期	先算 R，再 $A / (1 + R)$	2019 增 3.5%，2018 增 4% ⇒ 2017=3529.6÷1.0764≈3279
乘积增长率	总量=因子1×因子2 的两个增速	同一公式（销售额=单价×销量等）
混合增长率	另一模型，勿套 R=r₁+r₂+r₁r₂	$r = \frac{B _{1} r _{1} + B _{2} r _{2}}{B _{1} + B _{2}}$ （基期加权）；整体 r 居中，偏向基期量大的一侧

变体 V4｜负增速代入
单价 +10%，销量 −5%：
R=10%+(−5%)+10%×(−5%)=+4.5%（销售额上升）。

变体 V5｜乘积结构
面积 +5%，亩产 +8% ⇒ 总产量 R=5%+8%+0.4%=13.4%。
企业数 +12%，户均纳税 +6% ⇒ 税收 R=12%+6%+0.72%=18.72%。

变体 V6｜隔年再隔年（三年）
1.06×1.05×1.04−1≈15.8%（连乘，不能简单加）。

变体 V7｜混合增长率定性
夏粮 1200（+10%）+ 秋粮 2000（+6%）⇒ 全年增速在 6%–10% 之间，更靠近 6%（秋粮基期更大）。
精算：基期夏粮 1200/1.1≈1091，秋粮 2000/1.06≈1887；加权
$(1091 \times 10% + 1887 \times 6%) / (1091 + 1887) \approx 7.5%$ 。

变体 V8｜混合用线段/十字
已知两部分基期与增速求整体 r：用基期加权；只给现期且增速接近时可近似现期加权。

25.3 比重族：公式、界、变体

（0）零基础：比重题怎么认

题干关键词	考什么
「占…的比重」	部分÷整体
「比重比上年升/降」	只比较 a 和 b，先不算数
「升/降多少个百分点」	套比重差公式，单位是 pp
「上年的比重」	现期比重 ×(1+b)/(1+a)

（1）公式族

问法	公式	读法
现期比重	$p = A / B$	直除
升降判断	只比 a、b	不必算 pp
比重差	$p \cdot \frac{a - b}{1 + a}$	单位 pp
对偶式	$p_{0} \cdot \frac{a - b}{1 + b}$	恒等
基期比重	$p \cdot \frac{1 + b}{1 + a}$	先现期比重再修正
混合比重	整体比重介于两部分之间	求基期量比用十字

（2）重要界（考场秒杀）

比重差 = p \cdot \frac{a - b}{1 + a} \Rightarrow a > 0 时 ∣ 比重差 ∣ \leq ∣ a - b ∣ （且 a \neq = b, p > 0 时严格小于）

因为 $0 \leq p \leq 1$ ，且 $1/ (1 + a)$ 在 a>0 时小于 1。更紧的界： $∣ 比重差 ∣ \leq ∣ a - b ∣/ (1 + a)$ （取到 p=1）。
考法（须 a>0）： 选项若问「约上升几个百分点」，且某选项 $\geq ∣ a - b ∣$ ，可直接排除。

变体 V9｜只判断升降
GDP +8%，三产 +9% ⇒ 三产比重上升（a>b），不必算 0.7 pp。

变体 V10｜界排除（设 a>0）
a−b=2 个百分点且 a>0，选项：A. 0.5 pp　B. 1.2 pp　C. 2.0 pp　D. 3.5 pp
必有 |比重差|<2 ⇒ 排除 C、D，再在 A/B 间按 p 估算。

变体 V11｜平均数增长量（易漏）
除平均数增长率 $(a - b) / (1 + b)$ 外，还有增长量：

Δ x ˉ = \frac{A}{B} \cdot \frac{a - b}{1 + a}

（与比重差同构：把「份额」换成「平均数」。）
例：人均收入现期 48000，a=8%，b=2% ⇒
增长量≈48000×(8%−2%)/1.08≈2667。

变体 V12｜已知增长量反求
材料给「部分增长量 ΔA、整体 B₀」⇒ 拉动=ΔA/B₀；贡献=ΔA/ΔB。
材料给「比重 + 整体」⇒ 部分=整体×比重（注意基期/现期）。

25.4 截位与特征数字的变体谱

（0）零基础：方法怎么选

r 像 12.5%、25%、20% → 特征数字（转成除法）
|r| 很小且选项宽松 → 小 r 近似
其它 → 截位直除（分子分母一起截）

（1）截位直除变体

变体	做法	原理
V13 同步截	分子分母同时 k 位	控合成误差
V14 分母凑整	分母截到 1.10、96 等「好除」	估商更快
V15 先约分再截	352/704→1/2	恒等，零误差
V16 反向验算	用选项×分母对分子	选项代入思想
V17 偏差微调	分子偏大分母偏小 ⇒ 结果略偏大	紧贴中点时用

例 V16： 求 45678÷1.083。选项 42100：42100×1.083≈45594，偏小；42200×1.083≈45703 偏大 ⇒ 真值≈42177，选 B。

（2）特征数字变体

变体	形态	例
V18 标准 1/n	ΔA=A÷(n+1)	12.5%→÷9
V19 推广 k/n	$Δ A = A \cdot \frac{k}{n + k}$	37.5%=3/8→×3/11
V20 下降 1/n	$∣Δ A ∣ = A \div (n - 1)$	−20%=−1/5→÷4
V21 基期正用	A₀=A×n/(n+1)	16.7%→×6/7
V22 反求 r	已知 ΔA 与 A，估 1/n	ΔA/A≈1/(n+1)
V23 近似+微调	r≈1/n，再按 η 微调	对 r 的相对误差≈n\|η\|；对基期约 n\|η\|/(n+1)
V24 分数连乘	1.125=9/8 作除数因子	6789÷1.125=6789×8/9

例 V22： 现期 9000，增长量 1000，则 r/(1+r)=1/9 ⇒ r≈12.5%（因 1/n 对应 n=8，ΔA/A=1/9）。

例 V23： 用 1/8 去套真 r=13.2%，η=0.7pp，n=8 ⇒ 相对误差约 5.6%，选项密时不能套。

25.5 错位加减与同位比较法（化同）（正式写回）

（0）零基础说明

这两个是「比两个很接近的分数谁大」时的进阶工具。
先掌握： 首位直除、交叉相乘。下面内容供学有余力时用。

（1）错位加减

原理： 对正数分数，分子分母同加（或同减）同一正数 c：

\frac{a + c}{b + c} ⎩ ⎨ ⎧ > \frac{a}{b}, < \frac{a}{b}, = \frac{a}{b}, a < b （向 1 靠拢） a > b a = b

同减注意： 同减正数与同加方向相反——分数远离 1（417/812 同减 10 → 407/802 变小）。勿套「向 1 靠拢」。

考场三种合法用法：

用法	例	误差
V25 约分	352/704=1/2	0
V26 凑整分母	把分母调到 800，分子同步调	有偏，选项宽才用
V27 判断方向	比较时知「同加正数向 1 靠」	定性够用

例 V27： 417/812 与 (417+12)/(812+12)=429/824。
因 417<812，同加正数分数变大 ⇒ 429/824>417/812。

（2）同位比较法（化同）变体

用法	做法
V28 分子同位（化同分子）	3/7 vs 5/11 → 15/35 vs 15/33
V29 分母同位（化同分母）	比分子大小
V30 化相近	完全同位做不到时，化到可直除比较

25.6 进出口与顺差变体

（0）零基础术语

词	意思
出口	卖给外国
进口	从外国买
进出口总额	出口+进口
顺差	出口−进口（卖得更多）
逆差	进口−出口（买得更多）

（1）公式与陷阱

变体 V31｜总额增速定性
出口 1000（+15%），进口 800（−3%）⇒ 总额增速在 −3%~15% 之间。
基期出 1000/1.15≈870，进 800/0.97≈825；
总额基期≈1695，现期 1800，r≈6.2%。

变体 V32｜顺差
顺差现期=200；基期=870−825=45 ⇒ 顺差「大幅扩大」，与总额温和增长是不同故事。

25.7 拉动 / 贡献 / 比重——三角互推

（0）零基础三词对比

词	分子	分母	白话
拉动增长率	部分增长量	整体基期	这部分把整体拖高了几个百分点
贡献率	部分增长量	整体增长量	整体新增里这部分占几成
自身增长率	部分增长量	部分基期	这部分自己涨了百分之几

设整体基期 $B_{0}$ ，整体增速 b，部分基期占比 $p_{0}$ ，部分增速 a：

拉动 = p_{0} a, 贡献率 = \frac{p _{0} a}{b} (当整体增长可表为 B_{0} b), 贡献率之和 = 1

已知	可推
p₀、a	拉动=p₀a
拉动、b	贡献=拉动/b（ΔB=B₀b 时恒等）
贡献、b	拉动=贡献×b（ΔB=B₀b 时恒等）
p₀、a、b	三者皆可

变体 V33： p₀=25%，a=12%，b=4% ⇒ 拉动=3pp；贡献=3%/4%=75%。

变体 V34｜多部门
一产贡献 8%，二产 45%，三产 47% ⇒ 三者之和 100%（完备划分）。

25.8 乘法速算变体（完整谱系）

变体	恒等式	例
V35 ×5/25/125	×10÷2 等	48×25=1200
V36 接近 100	(100±a)(100±b)	103×107=11021
V37 平方差	(a+b)(a−b)	19×21=399
V38 ×99/×101	×(100∓1)	99×78=7722
V39 两位×两位	拆成 (x+u)(y+v)	47×36=1692
V40 连乘凑 2/5	125×32=125×8×4	4000
V41 增长量口径	$Δ A = A_{0} r$ （恒等）；仅有现期且 r 小时可 $A \cdot r \approx Δ A$	4200（基期）×7.5%=315

25.9 比较类变体

变体	场景	动作
V42 增速比较	多年数据	比现期÷基期
V43 增长量比较	现期与 r 一大一小	A÷(1/r+1) 比首位
V44 极近分数	差到 10⁻⁴	交叉相乘
V45 差分	差约 0.01 量级	(c−a)/(d−b) 与大分数同侧判序
V46 同位比较（化同）	分子或分母好化	通分后比另一边
V47 年均比较	n 相同	只比末/基
V48 比重差大小	多项「谁升得最多」	比 p×\|a−b\|

变体 V48 例： 甲 p=50%、|a−b|=2%；乙 p=20%、|a−b|=5%
甲≈50%×2%=1.0pp（除以 1+a 仅微调）；乙≈20%×5%=1.0pp——接近时再带回 (1+a) 精算。

25.10 数量关系方法变体（速算相关）

（0）零基础十字交叉口诀

大数 ──┐
       ├─ 混合值
小数 ──┘
两边权重比 = 对侧差之比

变体	内容
V49 代入+同余	先 mod 5/7 筛，再代入
V50 整除连立	被 3 且被 5 ⇒ 被 15
V51 特值三件套	工程 LCM；成本 100；溶液 100
V52 十字求三种未知	求权重比 / 求混合浓度 / 求一侧占比
V53 进出水	进效率为正、出为负，合效率相加减
V54 交替合作	以周期为单位算「一周期完成量」
V55 空瓶换水	连瓶可滚换 ⇒ 空瓶÷(k−1)
V56 年龄差不变	只攻「和/倍」随时间的变化

变体 V52 例： 30% 与 70% 混成 40% ⇒ 30% 占比=(70−40)/((70−40)+(40−30))=3/4=75%。

25.11 变体自测题（8 道）

例 25.1｜年均 n

题： 2015—2019 年，年份差 n=？
项： A. 3　B. 4　C. 5　D. 6
答： B
解： 2019−2015=4。

例 25.2｜乘积增长率

题：单价 +10%，销量 −5%，销售额增速？
项： A. −4.5%　B. +4.5%　C. +5%　D. +15%
答： B
解： 10%−5%+10%×(−5%)=4.5%。

例 25.3｜比重差界

题：部分增速 a=15%，整体增速 b=8%（a>0）。下列哪个一定不是比重变化的幅度？
项： A. 2 pp　B. 5 pp　C. 5.5 pp　D. 8.5 pp
答： D
解： a>0 时 |比重差|<|a−b|=7 pp（更紧的界：≤|a−b|/(1+a)≈6.09 pp）。A/B/C 均在界内可能；D 8.5>7，一定不是。
拨：松界 |比重差|<|a−b|（须 a>0）；紧界再除 (1+a)。先杀选项，再精算。

例 25.4｜间隔基期

题： 2019 年 3529.6，2019 +3.5%，2018 +4%，求 2017。
项： A. 3200　B. 3280　C. 3400　D. 3520
答： B
解： R=3.5%+4%+0.14%=7.64%；3529.6÷1.0764≈3279（最接近 B 3280）。

例 25.5｜平均数增长量

题：人均收入现期 48000，总量 +8%，人数 +2%，增长量约为？
项： A. 2000　B. 2667　C. 3000　D. 3840
答： B
解： 48000×6%/1.08≈2667。

例 25.6｜k/n 特征数字

题：现期 4400，+37.5%，增长量？
项： A. 1100　B. 1200　C. 1320　D. 1600
答： B
解： 3/8 ⇒ 4400×3/11=1200。

例 25.7｜混合增速区间

题：夏粮 1200（+10%），秋粮 2000（+6%），全年增速？
项： A. 约 6%　B. 约 7.5%　C. 约 8%　D. 约 10%
答： B
解：居中偏秋粮 ⇒ ≈7.5%（见 V7）。

例 25.8｜错位方向

题： 417/812 与 429/824 谁大？
项： A. 前者大　B. 后者大　C. 相等　D. 无法判断
答： B
解： 429/824=(417+12)/(812+12)，且 417<812 ⇒ 同加正数变大。

25.12 变体总表（速查）

族	变体编号	一句话
增长定义	V1–V3	年均量/率/比较
同一母式	V4–V8	隔年、乘积、混合
比重	V9–V12	升降、界、平均数增长量
截位	V13–V17	同步、凑整、约分、验算、微调
特征数字	V18–V24	1/n、k/n、下降、反求、近似
错位·同位比较	V25–V30	约分、方向、化同（同位比较法）
进出口	V31–V32	总额、顺差
拉动贡献	V33–V34	三角互推、完备求和
乘法	V35–V41	恒等变形谱
比较	V42–V48	序关系工具箱
数量	V49–V56	同余、特值、十字变式

理论细化与变体大全（§25） ​

25.1 增长理论网络（先建骨架） ​

（0）零基础关系图 ​

（1）一条定义出发 ​

25.2 隔年 / 乘积——同一个展开式；混合——另一模型（加权平均） ​

（0）零基础：三种「增长率」怎么分 ​

（1）统一母式（仅适用于隔年 / 乘积） ​

25.3 比重族：公式、界、变体 ​

（0）零基础：比重题怎么认 ​

（1）公式族 ​

（2）重要界（考场秒杀） ​

25.4 截位与特征数字的变体谱 ​

（0）零基础：方法怎么选 ​

（1）截位直除变体 ​

（2）特征数字变体 ​

25.5 错位加减与同位比较法（化同）（正式写回） ​

（0）零基础说明 ​

（1）错位加减 ​

（2）同位比较法（化同）变体 ​

25.6 进出口与顺差变体 ​

（0）零基础术语 ​

（1）公式与陷阱 ​

25.7 拉动 / 贡献 / 比重——三角互推 ​

（0）零基础三词对比 ​

25.8 乘法速算变体（完整谱系） ​

25.9 比较类变体 ​

25.10 数量关系方法变体（速算相关） ​

（0）零基础十字交叉口诀 ​

25.11 变体自测题（8 道） ​

25.12 变体总表（速查） ​