模块四：数量关系（15题/10题，拔高模块）
【模块说明】数量关系副省15题、地市/执法10题。备考策略：保基础题型（工程、行程、利润、容斥、年龄、周期），冲进阶题型（排列组合、概率、几何、最值）。本模块所有题目数据均经复算验证，解析给出完整计算过程。
工程问题
【识别特征】给多个主体的完工时间或效率关系，求合作/轮流工作时间——核心公式：工作总量=效率×时间。
【核心方法】给定时间型：赋值总量为时间的最小公倍数；效率制约型：按效率比赋值；轮流交替型：按"两人一轮"计算周期，注意最后一天由谁完成。
【例题】一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成，两人合作需要几天完成？
A.5天 B.6天 C.7天 D.8天
【答案】B【解析】答案B。赋值总量为10和15的最小公倍数30，则甲效率=30÷10=3，乙效率=30÷15=2，合作效率=5，所需时间=30÷5=6天。【方法二·方程法】设总量为1，甲效率1/10、乙效率1/15，合作效率=1/10+1/15=1/6，时间=1÷(1/6)=6天。
【变式】甲的工作效率是乙的2倍，甲单独完成需6天，两人合作需几天？
A.3天 B.4天 C.5天 D.6天
【答案】B【解析】答案B。甲效率为乙的2倍且甲6天完成，则乙单独需12天；赋值总量12，甲效率2、乙效率1，合作效率3，时间=12÷3=4天。
【真题】一项工程甲单独做10天完成、乙单独做15天完成，若按"甲做一天、乙做一天"轮流进行，完成整个工程需要多少天？
A.10天 B.11天 C.12天 D.13天
【答案】C【解析】答案C。总量30，甲效率3、乙效率2；每轮（2天）完成5，30÷5=6轮恰好完成，共需6×2=12天。
行程问题：相遇与追及
【识别特征】相向而行求相遇时间；同向而行求追及时间；环形跑道第一次追上——核心公式：路程=速度×时间。
【核心方法】相遇：路程和=(v₁+v₂)×t；追及：路程差=(v快-v慢)×t；环形同向第一次追上即"多跑一圈"。
【例题】甲、乙两人分别从相距30千米的两地同时相向而行，甲速度6千米/时、乙速度4千米/时，几小时后相遇？
A.2小时 B.3小时 C.4小时 D.5小时
【答案】B【解析】答案B。相遇时间=路程和÷速度和=30÷(6+4)=3小时。【方法二·比例法】相同时间内路程比=速度比=6:4=3:2，甲走18千米、乙走12千米，时间=18÷6=3小时（或12÷4=3小时）。
【变式】甲速度8千米/时、乙速度5千米/时，甲在乙身后9千米处同向追赶，几小时后甲追上乙？
A.2小时 B.3小时 C.4小时 D.5小时
【答案】B【解析】答案B。追及时间=路程差÷速度差=9÷(8-5)=3小时。
【真题】环形跑道周长400米，甲、乙同向同地出发，甲速度6米/秒、乙速度4米/秒，甲第一次追上乙需要多少秒？
A.100秒 B.200秒 C.300秒 D.400秒
【答案】B【解析】答案B。环形同向第一次追上即甲比乙多跑一圈：400÷(6-4)=200秒。
行程问题：流水行船与火车过桥
【识别特征】出现"顺水/逆水/水速"，或"火车通过桥/隧道"——注意速度合成与长度叠加。
【核心方法】顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速；水速=(顺-逆)÷2；火车过桥时间=(车长+桥长)÷车速。
【例题】某船顺水航行速度为12千米/时，逆水航行速度为8千米/时，则水流速度为：
A.1千米/时 B.2千米/时 C.3千米/时 D.4千米/时
【答案】B【解析】答案B。水速=(顺水速度-逆水速度)÷2=(12-8)÷2=2千米/时。
【变式】一列火车长200米，以20米/秒的速度通过一座长800米的隧道，需要多长时间？
A.40秒 B.50秒 C.60秒 D.100秒
【答案】B【解析】答案B。通过时间=(车长+隧道长)÷车速=(200+800)÷20=50秒。注意火车"完全通过"需加上自身长度。
【真题】船在静水中的速度为10千米/时，水流速度为2千米/时，该船逆水行驶48千米需要多少小时？
A.4小时 B.5小时 C.6小时 D.8小时
【答案】C【解析】答案C。逆水速度=10-2=8千米/时，时间=48÷8=6小时。
利润问题
【识别特征】涉及进价、售价、利润、利润率、折扣——核心公式：利润=售价-成本；利润率=利润÷成本；售价=成本×(1+利润率)；折扣=实际售价÷原价。
【核心方法】成本为1或100赋值；先算实际售价再反推定价；注意"打几折"是售价÷定价。
【例题】某商品进价100元，售价150元，则该商品的利润率是：
A.40% B.50% C.60% D.150%
【答案】B【解析】答案B。利润率=(150-100)÷100=50%。【方法二·赋值法】设成本为100元，则利润=150-100=50元，利润率=50÷100=50%，直接按比例心算。
【变式】某商品进价100元，按定价提高40%标价，再打八折出售，实际售价为：
A.108元 B.112元 C.116元 D.120元
【答案】B【解析】答案B。定价=100×(1+40%)=140元；八折售价=140×0.8=112元。
【真题】某商品进价90元，按定价打九折出售后仍获利20%，则该商品的定价为：
A.100元 B.110元 C.120元 D.130元
【答案】C【解析】答案C。实际售价=90×(1+20%)=108元；定价=108÷0.9=120元。
容斥原理
【识别特征】有重叠的计数问题（两个/三个集合）——两集合：A+B-AB=总数-都不；三集合：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总数-都不。
【核心方法】先识别集合与重叠部分；"至少满足一种"用并集公式；"只喜欢一种"需逐项扣除；最后用总数补集求"都不"。
【例题】某班30人，18人喜欢数学、15人喜欢语文、8人两科都喜欢，则两科都不喜欢的有几人？
A.3人 B.4人 C.5人 D.6人
【答案】C【解析】答案C。至少喜欢一科=18+15-8=25人；都不喜欢=30-25=5人。【方法二·文氏图】画两个相交圆：只喜欢数学10人、只喜欢语文7人、两科都喜欢8人，至少喜欢一科=10+7+8=25人，都不喜欢=30-25=5人，与公式法互为验证。
【变式】某班50人，选A课25人、B课20人、C课18人，选AB的8人、AC的6人、BC的5人，三科都选的2人，则至少选一科的有几人？
A.42人 B.44人 C.46人 D.48人
【答案】C【解析】答案C。三集合并集=25+20+18-8-6-5+2=46人。
【真题】某班40人，20人会打篮球、15人会踢足球，两项都会的5人，则只会踢足球的有几人？
A.8人 B.10人 C.12人 D.15人
【答案】B【解析】答案B。只会踢足球=会足球-两项都会=15-5=10人。
排列组合：基础
【识别特征】从若干元素中选取/排列，问方法数——区分排列（有序用A）与组合（无序用C）。
【核心方法】排列A(n,m)=n!/(n-m)!；组合C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]；分类用加法、分步用乘法；有特殊要求先处理特殊元素。
【例题】5个人排成一排照相，共有多少种不同的排法？
A.60种 B.100种 C.120种 D.125种
【答案】C【解析】答案C。5人全排列：A(5,5)=5!=120种。
【变式】从8名同学中选出3人参加比赛，共有多少种选法？
A.48种 B.56种 C.64种 D.336种
【答案】B【解析】答案B。组合C(8,3)=8!/(3!×5!)=56种（选人不排序）。
【真题】4名男生、3名女生排成一排，要求两端都是男生，共有多少种排法？
A.720种 B.1440种 C.2880种 D.5040种
【答案】B【解析】答案B。先排两端：从4名男生选2名并排列A(4,2)=12；中间5人全排列A(5,5)=120；总数=12×120=1440种。
排列组合：捆绑、插空与插板
【识别特征】"相邻"→捆绑法；"不相邻"→插空法；"相同元素分给不同对象"→插板法。
【核心方法】捆绑：先捆成整体再与其余排列，最后解捆内部；插空：先排无要求元素，再把有要求元素插入空隙；插板：n个相同元素分m份且每份至少1个=C(n-1,m-1)。
【例题】3本语文书、2本数学书排成一排，要求3本语文书必须相邻，共有多少种排法？
A.12种 B.24种 C.36种 D.120种
【答案】C【解析】答案C。3本语文书捆成1个整体，与2本数学书共3个元素排列：A(3,3)=6；语文书内部排列：A(3,3)=6；总数=6×6=36种。
【变式】4名男生、2名女生排成一排，要求2名女生不相邻，共有多少种排法？
A.240种 B.360种 C.480种 D.720种
【答案】C【解析】答案C。先排4名男生：A(4,4)=24，形成5个空位；插入2名女生：A(5,2)=20；总数=24×20=480种。
【真题】将10个相同的苹果分给3个人，每人至少分1个，共有多少种分法？
A.28种 B.36种 C.45种 D.120种
【答案】B【解析】答案B。插板法：10个苹果有9个空隙，插入2块板分成3份：C(9,2)=36种。【方法二·先保底再分配】先给每人1个，剩余7个在3人间分配（可有人得0个），转化为隔板法C(7+3-1,3-1)=C(9,2)=36种。两种思路结果一致。
概率问题
【识别特征】求事件发生的概率——古典概型P=目标事件数÷总事件数；独立重复试验用二项概率公式。
【核心方法】古典概型：先求总方法数与目标方法数；"至少"类问题用1-反面概率；独立重复n次恰发生k次：C(n,k)×pᵏ×(1-p)ⁿ⁻ᵏ。
【例题】袋中有3个红球、2个白球，随机取出1个球，取到红球的概率是：
A.2/5 B.3/5 C.1/2 D.2/3
【答案】B【解析】答案B。总球数5，红球3，概率=3÷5=3/5。
【变式】承上题，一次取出2个球，两个都是红球的概率是：
A.1/10 B.3/10 C.1/2 D.3/5
【答案】B【解析】答案B。总取法C(5,2)=10；两红取法C(3,2)=3；概率=3/10。
【真题】某射手每次射击命中率为0.8，连续射击3次，恰好命中2次的概率是：
A.0.128 B.0.256 C.0.384 D.0.512
【答案】C【解析】答案C。独立重复试验：C(3,2)×0.8²×0.2=3×0.64×0.2=0.384。【方法二·分步理解】3次中恰好2次命中，命中位置有C(3,2)=3种组合；每种组合概率均为0.8²×0.2=0.128，总概率=3×0.128=0.384，公式即由此得来。
几何问题
【识别特征】平面/立体图形的周长、面积、体积计算——熟记公式并注意比例缩放。
【核心方法】直角三角形：勾股定理a²+b²=c²；常见面积/体积公式；相似图形：边长比k→面积比k²→体积比k³；几何最值：周长一定越接近圆面积越大。
【例题】直角三角形的两条直角边分别为3和4，则该三角形的面积是：
A.6 B.7 C.12 D.5
【答案】A【解析】答案A。面积=3×4÷2=6。注意斜边5（勾股定理）在此题中用于判断直角三角形，但面积用两直角边计算。
【变式】正方形边长扩大为原来的2倍，其面积扩大为原来的几倍？
A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍
【答案】B【解析】答案B。边长比k=2，面积比=k²=4倍。
【真题】圆柱底面半径为3、高为5，则其体积为：
A.30π B.45π C.60π D.90π
【答案】B【解析】答案B。圆柱体积=底面积×高=π×3²×5=45π。
浓度问题
【识别特征】溶液的浓度、溶质、溶液计算或混合——核心公式：浓度=溶质÷溶液。
【核心方法】混合前后溶质总量不变；十字交叉法求两种溶液的质量比：浓度差之比等于质量反比。
【例题】100克浓度为20%的盐水中含盐多少克？
A.10克 B.15克 C.20克 D.25克
【答案】C【解析】答案C。溶质=溶液×浓度=100×20%=20克。
【变式】承上题，向该盐水中再加入20克水，新盐水的浓度约为：
A.15.0% B.16.7% C.18.0% D.20.0%
【答案】B【解析】答案B。溶质仍为20克，溶液变为120克，浓度=20÷120≈16.7%。
【真题】将浓度为30%和10%的两种盐水混合成浓度为20%的盐水，两种盐水的质量比是：
A.1:1 B.2:1 C.1:2 D.3:1
【答案】A【解析】答案A。十字交叉：30%与10%混合成20%，两种溶液质量比=(20%-10%):(30%-20%)=10%:10%=1:1。【方法二·方程法】设30%盐水x克、10%盐水y克：0.3x+0.1y=0.2(x+y)，得0.1x=0.1y，x:y=1:1。
最值问题：和定最值与抽屉原理
【识别特征】"几个数的和一定，求某个数的最大/最小值"（和定最值）；"至少取出几个才能保证……"（最不利原则）。
【核心方法】和定最值：求某数最大则其余数取最小（注意是否要求互不相同）；抽屉原理：最不利情况+1。
【例题】5个互不相同的正整数之和为20，则其中最大的数最大是：
A.8 B.9 C.10 D.14
【答案】C【解析】答案C。要使最大数最大，其余4个取最小的互不相同正整数1、2、3、4，和为10，最大数=20-10=10。【方法二·构造验证】直接构造{10,1,2,3,4}满足条件；若最大数≥11，其余4个最小和为1+2+3+4=10，总数至少21，超过20矛盾，故最大数最大为10。
【变式】抽屉里有红、蓝、黑三种颜色的袜子各若干只，至少要取出几只，才能保证有2只颜色相同？
A.2只 B.3只 C.4只 D.5只
【答案】C【解析】答案C。最不利情况：每种颜色各取1只共3只仍无同色；再取1只必与其中一种同色，故3+1=4只。
【真题】小明三次考试总分为270分，三次分数互不相同且均不超过100分，则分数最低的那次最高可能是多少分？
A.87分 B.88分 C.89分 D.90分
【答案】C【解析】答案C。设最低分为x，另两次至少为x+1、x+2：x+(x+1)+(x+2)=270，解得x=89。验证：89、90、91分，互不相同且均不超100分，成立。
牛吃草问题
【识别特征】"草以固定速度生长，不同牛数吃不同天数"——核心公式：原有量=(牛数-每天增长量)×天数。
【核心方法】设每头牛每天吃1份、每天增长X份、原有Y份，列方程组解X、Y，再求新条件下天数；变式：抽水机（进水）、售票口（来客）同理。
【例题】牧场上草匀速生长，10头牛可吃20天，15头牛可吃10天，问25头牛可吃几天？
A.4天 B.5天 C.6天 D.8天
【答案】B【解析】答案B。设每头牛每天吃1份、每天长草X份、原有草Y份：Y+20X=10×20=200，Y+10X=15×10=150，解得X=5、Y=100。25头牛吃t天：100+5t=25t，t=5天。【方法二·直接公式】原有草量=(牛数-每天长草量)×天数：(10-X)×20=(15-X)×10，解得X=5，原草=(10-5)×20=100；25头牛：(25-5)×t=100，t=5天。
【变式】水池有进水口匀速进水，5台抽水机40分钟抽完，8台抽水机20分钟抽完，问10台抽水机几分钟抽完？
A.10分钟 B.12分钟 C.15分钟 D.20分钟
【答案】C【解析】答案C。设每分钟进水X、原有水Y：Y+40X=5×40=200，Y+20X=8×20=160，解得X=2、Y=120。10台抽t分钟：120+2t=10t，t=15分钟。
【真题】承例题条件（原有草100份、每天长5份），若想在5天内把草吃完，至少需要多少头牛？
A.20头 B.25头 C.30头 D.35头
【答案】B【解析】答案B。设需N头牛：100+5×5=N×5，解得N=25头。
年龄问题
【识别特征】涉及多人的年龄与倍数关系——核心：年龄差永远不变，倍数随时间变化。
【核心方法】以年龄差为桥梁列方程；过去/将来年份对每个人都同样加减；"n年前"双方年龄都减n。
【例题】父亲今年40岁，儿子今年10岁，几年后父亲的年龄是儿子的2倍？
A.10年后 B.15年后 C.20年后 D.30年后
【答案】C【解析】答案C。设x年后：40+x=2(10+x)，解得x=20年。【方法二·年龄差不变】父子年龄差恒为40-10=30岁；父亲年龄是儿子的2倍时，年龄差恰等于儿子年龄，即儿子30岁时满足，30-10=20年后。
【变式】甲比乙大6岁，5年前甲的年龄是乙的2倍，则乙今年多少岁？
A.9岁 B.10岁 C.11岁 D.12岁
【答案】C【解析】答案C。设乙今年x岁，则甲x+6岁；5年前：x+1=2(x-5)，解得x=11岁。
【真题】一家三口年龄之和为68岁，父亲比母亲大2岁，母亲年龄是女儿的5倍，则女儿今年多少岁？
A.5岁 B.6岁 C.7岁 D.8岁
【答案】B【解析】答案B。设女儿x岁，母亲5x岁，父亲5x+2岁：x+5x+5x+2=68，解得x=6岁。验证：6+30+32=68，成立。
周期与日期问题
【识别特征】星期推算、报数循环、周期余数——核心：总天数÷周期取余数。
【核心方法】星期：用7为周期，余几星期往后推几；平年365天=52周+1天，闰年366天=52周+2天；循环报数：用循环节长度取余。
【例题】今天是星期三，再过100天是星期几？
A.星期一 B.星期三 C.星期五 D.星期日
【答案】C【解析】答案C。100÷7=14余2，星期三往后推2天为星期五。【方法二·凑整验证】100=98+2，98天恰为14周整，从星期三直接加2天得星期五。
【变式】某平年的1月1日是星期二，则该年的12月31日是星期几？
A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期四
【答案】C【解析】答案C。平年共365天=52周+1天，年末比年初往后推1天：星期二+1=星期三。
【真题】5名同学按1、2、3、4、5的顺序循环报数，第100个数报到的是：
A.3 B.4 C.5 D.1
【答案】C【解析】答案C。100÷5=20余0（整除），余0对应循环节最后一位，报5。
鸡兔同笼与盈亏问题
【识别特征】"头数与脚数求各多少"（鸡兔同笼）；"每人分几个多/少几个"（盈亏）——假设法求解。
【核心方法】鸡兔同笼：假设全为一种，用"总脚数差÷每只脚数差"求另一种；盈亏：人数=(盈+亏)÷两次分配差。
【例题】笼中有鸡和兔共35只，共有脚94只，则兔有多少只？
A.10只 B.11只 C.12只 D.13只
【答案】C【解析】答案C。假设全是鸡：35×2=70只脚，实际94只，多出24只；每把1只鸡换成兔多2只脚：24÷2=12只兔。【方法二·方程法】设兔x只、鸡(35-x)只：4x+2(35-x)=94，解得x=12只。
【变式】给小朋友分苹果，每人分5个多10个，每人分7个少6个，则小朋友有几人？
A.6人 B.7人 C.8人 D.9人
【答案】C【解析】答案C。人数=(盈+亏)÷分配差=(10+6)÷(7-5)=8人。验证：5×8+10=50个苹果，7×8-6=50，成立。
【真题】停车场有汽车（4个轮子）和三轮车共40辆，轮子总数为150个，则三轮车有多少辆？
A.8辆 B.10辆 C.12辆 D.15辆
【答案】B【解析】答案B。假设全是汽车：40×4=160个轮子，实际150个，少10个；每把1辆汽车换成三轮车少1个轮子：10÷1=10辆三轮车。