高频基础题型

• 工程问题：W=P×t；给定时间型（赋值总量为公倍数）、效率制约型（赋值效率比）、效率给出型；合作/轮流交替工作；注水排水
  • 轮流工作：一个周期完成量 = 各人效率和×周期时长
  • 交替工作：按顺序轮流做，算出每个周期完成量，再看剩余部分谁做
  • 注水排水：进水管效率为正、出水管为负，合效率=进−出
  • 完工时间：总量÷合效率=完工时间
• 行程问题：路程=速度×时间；平均速度=2v₁v₂/(v₁+v₂)（等距离）；相遇S=(v₁+v₂)t；追及S=(v快−v慢)t；流水行船（顺流=船速+水速、逆流=船速−水速）；环形跑道；多次相遇（两端出发第n次路程和=(2n−1)S）；火车过桥/错车；比例法
  • 火车过桥：车长+桥长=车速×时间
  • 火车错车：两车长之和=速度和×错车时间
  • 环形追及：同向出发，快追上慢一次=多跑一圈
  • 多次相遇同向：第n次相遇路程差=nS
  • 比例法：路程一定，速度与时间成反比；速度一定，路程与时间成正比
• 利润问题：利润=售价−成本；利润率=利润÷成本；售价=成本×(1+利润率)；折扣=实际售价÷原价；分段计费（水电/出租车/话费/提成）
  • 多件商品：总利润=件数×单件利润；混合利润率用十字交叉
  • 打折：售价=原价×折扣率；利润率=(售价−成本)÷成本
• 和差倍比问题：和倍、差倍、和差；比例设未知数
  • 连比统一：甲:乙=2:3，乙:丙=4:5 → 甲:乙:丙=8:12:15
• 容斥原理：两集合A+B−AB=总数−都不；三集合A+B+C−AB−AC−BC+ABC=总数−都不；文氏图法
  • 至少问题：用最不利原则
  • 至多问题：用极端构造
• 年龄问题：年龄差不变；倍数关系随时间变化
  • 年龄倍数：设年龄差为d，几年后是几倍——列方程
  • 年龄和：年龄和随时间变化，每年增加人数×1
• 数列计算：等差数列通项aₙ=a₁+(n−1)d、求和Sₙ=n(a₁+aₙ)/2；等比数列通项/求和；连续自然数求和
  • 等差中项：2b=a+c
  • 等比中项：b²=ac
  • 求和公式：Sₙ=n(a₁+aₙ)/2=na₁+n(n−1)d/2
• 不定方程（组）：限制性不定方程（未知数为正整数）；奇偶性/整除/尾数/倍数特性求解
  • 倍数特性：若ax+by=c，且a、b有公因数，则c必须满足相应整除
  • 奇偶特性：奇±奇=偶，偶±偶=偶，奇±偶=奇