补5　空瓶换水

补5.1 考情与识别信号

考情：经典经济/统筹小模型，国考省考均考过变式。核心是「瓶身与瓶」的等价兑换，公考默认 可用「净耗瓶」思路（等价于末尾借瓶再还）。

识别信号：空瓶换水/换汽水、几个空瓶兑一瓶、买了多少最多喝多少、至少买多少才能喝到若干瓶。

补5.2 核心公式与结论

等价关系（最关键）：

• 1 瓶水 = 1 瓶身（水） + 1 个空瓶
• n 个空瓶 = 1 瓶水
• 两边同减 1 个空瓶：n−1 个空瓶 = 1 瓶「水」（不含瓶）

主公式（公考通用）：

已知	最多可喝
先有 m 个 空瓶	⌊ m ÷ (n−1) ⌋ 瓶
先买/先得 m 瓶水	m + ⌊ m ÷ (n−1) ⌋ 瓶
要喝到 T 瓶，至少先买 x 瓶	解 x + ⌊ x/(n−1) ⌋ ≥ T，取最小正整数 x

递推验证法（防呆）：每次用 ⌊空瓶数 ÷ n⌋ 换水，喝完空瓶数变为 剩余空瓶 + 新喝瓶数，循环直到不足 n。

约定说明：上表主公式按「每瓶水净耗 n−1 个空瓶」理解，允许末尾「借 1 个空瓶→换水→还瓶」的操作；若题本明确禁止借瓶，则以递推法为准。

补5.3 解题步骤

1. 定 n：几换一。
2. 选模型：起点是「空瓶」还是「整瓶水」。
3. 套公式：净耗 n−1。
4. 递推验算（大数或选项接近时）：防止取整方向反了。

补5.4 例题精讲

例5 空瓶换水

商店规定：5 个空瓶可换 1 瓶汽水。小明用 20 元（每瓶汽水 1 元）最多能喝到多少瓶汽水？

【解析】

1. 先买 20 ÷ 1 = 20（瓶），喝掉，得 20 个空瓶。

2. 主公式：20 + ⌊ 20 ÷ (5−1) ⌋ = 20 + ⌊ 20 ÷ 4 ⌋ = 20 + 5 = 25（瓶）

3. 递推验算（允许末瓶借还）：

   • 20 空 → 换 4 瓶，喝完共 24，空瓶 4
   • 借 1 空 → 5 空 → 换 1 瓶，喝完共 25，把空瓶还回

   最多 25 瓶。

若禁止借瓶：20 空 → 4 瓶后剩 4 空，不够再换，共 24 瓶。公考标准答案取 25。

【点睛】

• 本质：每多喝 1 瓶，净消耗 n−1 个空瓶。
• 「至少买几瓶才能喝到 T 瓶」：解不等式 x + ⌊x/(n−1)⌋ ≥ T，比递推快。
• 选项若出现「差 1 瓶」的干扰项，多半是借瓶与不借瓶的差别——按净耗公式作答。

补5.5 易错警示

1. 用 n 而不是 n−1：5 空瓶换 1 水，不是每 5 空瓶多喝 1（那样会把瓶子本身算重）。
2. 起点看错：是「20 个空瓶」还是「买了 20 瓶」，差出最初的 m。
3. 取整方向：向下取整；不足 n−1 的零头不能升。
4. 「几换一」与「加价购」：若题是「3 空瓶 + 1 元换 1 瓶」，公式改为净耗 2 空瓶 + 1 元，另算。

补5.6 自测练习

自测 1　4 个空瓶换 1 瓶啤酒。某人先喝了 12 瓶，最多共能喝几瓶？

自测 2　6 个空瓶换 1 瓶水，至少先买几瓶才能总共喝到 10 瓶？

自测 1：12 + ⌊12 ÷ 3⌋ = 12 + 4 = 16（瓶）。

自测 2：x + ⌊x/5⌋ ≥ 10。
x=8：8+1=9 < 10；x=9：9+1=10 ≥ 10。至少 9 瓶。

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