补6　余数与同余

补6.1 考情与识别信号

考情：与周期问题、不定方程、数字特性交叉。「中国剩余定理」只考简单双条件形式；余数特性用于排除选项，性价比极高。

识别信号：除以 a 余、除以 b 余、同时满足两个余数、星期/月历余数、平方除以 4 余几、和的余数。

补6.2 核心公式与结论

余数运算特性：

1. (a ± b) mod n = [(a mod n) ± (b mod n)] mod n
2. (a × b) mod n = [(a mod n) × (b mod n)] mod n
3. a^k mod n 可先算 a mod n 再逐次乘，每次取模

同余：a ≡ b (mod m) ⇔ m | (a − b)。

常用余数结论：

结论	内容
奇数平方	除以 4 余 1（或 8 余 1）
偶数平方	除以 4 余 0
弃九法	一个数除以 9 的余数 = 各位数字和除以 9 的余数
整除 3、9	各位和被 3、9 整除

中国剩余定理（简单双条件）：

已知
x ≡ a (mod m)，x ≡ b (mod n)，且 gcd(m,n)=1，
则解在 0 ≤ x < mn 内唯一，通解 x + kmn。

枚举算法（考场够用）：

1. 写出满足第一个条件的数列：a, a+m, a+2m, …
2. 逐个检验除以 n 的余数是否为 b
3. 最小正整数解通常在前 n 项内出现

补6.3 解题步骤

1. 翻译条件：「除以 5 余 1」→ x ≡ 1 (mod 5)。
2. 选方法：两条件且模互质 → 枚举/列表；求余数 → 特性速算。
3. 找最小正解：从第一个条件的数列里扫。
4. 通解：x₀ + LCM(m,n)·k（模不互质时用最小公倍数为周期，注意可解性）。

补6.4 例题精讲

例6 同余最小解

一个自然数除以 3 余 2，除以 5 余 3。求满足条件的最小自然数，并写出通解。

【解析】

1. 条件：x ≡ 2 (mod 3)，x ≡ 3 (mod 5)。
2. 由第一式列数：2, 5, 8, 11, 14, 17, …
3. 查除以 5 余 3：
   • 2 mod 5 = 2 ≠ 3
   • 5 mod 5 = 0 ≠ 3
   • 8 mod 5 = 3 ✓
4. 最小自然数 x = 8。
5. 周期 LCM(3,5) = 15，通解 x = 8 + 15k（k 为非负整数）。

验算：8÷3=2…2，8÷5=1…3，均成立。23、38…也都满足。

【点睛】

• 双余数问题：列第一个数列，用第二个条件筛选，比背 CRT 通式快。
• 「最小自然数」注意是否允许 0 或是否从 1 起。
• 与周期结合：星期几、生肖、第几次相遇，本质都是同余。

补6.5 易错警示

1. 余数必须非负且小于除数：−1 mod 5 应写成余 4。
2. 模不互质：如「除以 4 余 1，除以 6 余 1」，周期是 LCM(4,6)=12，不是 24；若两余数不相容（如除 4 余 1、除 6 余 2），可能无解，要验。
3. 「除以 a 余 b」中的 b ≥ a：说明题意有误或需先化简。
4. 平方余数记混：奇数² 除以 4 余 1，不是余 2。

补6.6 自测练习

自测 1　一个数除以 5 余 1，除以 7 余 2，求最小正整数解。

自测 2　2025² 除以 4 的余数是多少？

自测 1：列 1, 6, 11, 16, 21…
16 mod 7 = 2 ✓。最小解 16，通解 16 + 35k。

自测 2：2025 是奇数，奇数平方除以 4 余 1。
（或：2025 ≡ 1 (mod 4)，1² ≡ 1 (mod 4)。）

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