第五章 行程问题
5.1 考情定位
| 维度 | 说明 |
|---|---|
| 考频 | 数量关系最高频、变化最多的题型之一，国考省考常考 |
| 题量 | 1～2 题，有时与比例、最值结合 |
| 难度 | 基础相遇追及易拿分；多次相遇、流水、火车过桥拉分 |
| 核心能力 | 画线段图 + 速度合成 + 单位统一 |
| 建议用时 | 基础 40～60 秒；复杂多次相遇 60～120 秒 |
信号词识别：「速度、相遇、追及、相向、同向、顺水、逆水、火车过桥、跑道、往返」→ 行程问题。
第一生产力：画线段图（或环形图），标出起点、方向、相遇点、时间。
5.2 核心公式
（1）基本公式
路程 s = 速度 v × 时间 t
速度 v = 路程 s ÷ 时间 t
时间 t = 路程 s ÷ 速度 v（2）相遇与追及
| 类型 | 方向 | 核心关系 | 公式 |
|---|---|---|---|
| 相遇（相向） | 对面走来 | 路程和 = 速度和 × 时间 | S = (v₁ + v₂) × t |
| 追及（同向） | 同方向赶 | 路程差 = 速度差 × 时间 | ΔS = (v₁ − v₂) × t |
| 背向而行 | 相反离开 | 路程和 = 速度和 × 时间 | S = (v₁ + v₂) × t |
（3）流水行船
顺水速度 = 船速 + 水速
逆水速度 = 船速 − 水速
船速 = (顺水速度 + 逆水速度) ÷ 2
水速 = (顺水速度 − 逆水速度) ÷ 2（4）火车过桥 / 过隧道 / 过杆
火车完全通过的路程 = 桥长（隧道长） + 车身长
t = (桥长 + 车长) ÷ 火车速度- 过桥/隧道：路程要加车长
- 过电线杆/人（长度可忽略）：路程 = 车长，
t = 车长 ÷ v - 完全在桥上的路程 = 桥长 − 车长
（5）平均速度
| 场景 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 等距离两段 | v̄ = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂) | 调和平均，不是 (v₁+v₂)/2 |
| 等时间两段 | v̄ = (v₁ + v₂) / 2 | 算术平均 |
| 一般全程 | v̄ = 总路程 ÷ 总时间 | 定义式，万能 |
（6）环形跑道
| 类型 | 关系 | 公式 |
|---|---|---|
| 同向追及（第一次追上） | 路程差 = 一圈周长 | (v₁ − v₂) × t = C |
| 相向相遇（第一次相遇） | 路程和 = 一圈周长 | (v₁ + v₂) × t = C |
| 第 k 次追上/相遇 | 路程差/和 = k 圈 | (v₁ ± v₂) × t = kC |
（7）多次相遇（两端出发，异地相向）
两人分别从 A、B 两端同时出发，相向而行，到达对方端点后立即返回……
第 1 次相遇：路程和 = 1S
第 2 次相遇：路程和 = 3S
第 3 次相遇：路程和 = 5S
第 n 次相遇：路程和 = (2n − 1)S其中 S 为 A、B 两地距离。
从出发到第 n 次相遇，两人路程之和是 (2n−1)S；因速度不变，时间比 = 路程和比：
t₂ = 3t₁，t₃ = 5t₁，…，tₙ = (2n−1)t₁5.3 题型分表
| 题型 | 信号词 | 核心量 | 优先方法 | 考频 |
|---|---|---|---|---|
| 基础相遇 | 相向、相遇、同时出发 | 速度和 | S=(v₁+v₂)t | ★★★★★ |
| 基础追及 | 同向、追上、落后 | 速度差 | ΔS=(v₁−v₂)t | ★★★★★ |
| 流水行船 | 顺水、逆水、水流 | 船速、水速 | 和差一半 | ★★★★ |
| 火车过桥 | 过桥、过隧道、完全通过 | 车长+桥长 | t=(L桥+L车)/v | ★★★★ |
| 平均速度 | 往返、去回、上下坡 | 总路程/总时间 | 等距用调和平均 | ★★★★ |
| 环形跑道 | 跑道、环形、圈 | 周长 C | 一圈差/和 | ★★★★ |
| 多次相遇 | 第二次相遇、返回 | (2n−1)S | 路程和倍数 | ★★★ |
| 火车相遇/追及 | 对开、同向快车 | 车长和/差 | 相对速度 | ★★★ |
方法选择口诀：
- 人对面 → 速度和；人同向 → 速度差
- 有水 → 先求船速水速；有火车 → 别忘车长
- 往返求平均 → 等距离用调和平均
- 多次相遇 → 路程和 (2n−1)S
5.4 例题精讲
例1 相向而行（相遇）
【例题】
甲、乙两人分别从相距 30 千米的 A、B 两地同时出发，相向而行。甲每小时走 6 千米，乙每小时走 4 千米。两人几小时后相遇？
【解析】
- 判型：相向、相遇 → 速度和。
- 列式：
t = S ÷ (v甲 + v乙) = 30 ÷ (6 + 4) = 30 ÷ 10 = 3（小时）。
可验证：3 小时甲走 18 千米、乙走 12 千米，合计 30 千米，正确。
【点睛】
相遇时间 = 路程和 ÷ 速度和。若两人出发时间不同，先算「先出发者已走的路程」，再对剩余路程用相遇公式。
例2 同向追赶（追及）
【例题】
甲每小时走 8 千米，乙每小时走 5 千米。乙在甲前方 9 千米处，两人同向而行，甲几小时能追上乙？
【解析】
- 判型：同向、追上 → 速度差。
- 列式：
t = ΔS ÷ (v甲 − v乙) = 9 ÷ (8 − 5) = 9 ÷ 3 = 3（小时）。
验证：3 小时甲走 24、乙走 15，多走 9 千米，恰好追上。
【点睛】
追及时间 = 路程差 ÷ 速度差。
若问「追上时甲走了多远」：s甲 = v甲 × t = 8 × 3 = 24 千米。
注意：路程差是「开始追时两人已拉开的差距」，不是全程距离。
例3 求船速与水速（流水行船）
【例题】
一艘船顺水航行每小时 12 千米，逆水航行每小时 8 千米。求船在静水中的速度和水流速度。
【解析】
- 公式：船速 = 顺逆平均，水速 = 顺逆差的一半。
- 计算：
- 船速
v船 = (12 + 8) ÷ 2 = 10（千米/小时） - 水速
v水 = (12 − 8) ÷ 2 = 2（千米/小时）
- 船速
变式：若甲乙两码头相距 48 千米，顺水而下需几小时？t = 48 ÷ 12 = 4 小时；逆流返回 t = 48 ÷ 8 = 6 小时。
【点睛】
- 顺水 = 船借水力：
v顺 = v船 + v水 - 逆水 = 船抗水力：
v逆 = v船 − v水 - 静水速度才是船自身的速度；题目若给「对地速度」，看清是顺水还是逆水。
- 求往返平均速度（等距离）：
v̄ = 2×12×8/(12+8) = 9.6千米/小时，不是 10！
例4 含车身长（火车过桥）
【例题】
一列火车长 200 米，以每秒 20 米的速度通过一座长 800 米的隧道。从车头进入隧道到车尾离开隧道，共需多少秒？
【解析】
- 判型：过隧道 → 路程 = 桥长 + 车长。
- 路程：
s = 800 + 200 = 1000（米） - 时间：
t = 1000 ÷ 20 = 50（秒）
变式对比：
- 完全在桥上的时间：路程 =
800 − 200 = 600米，t = 600 ÷ 20 = 30秒 - 过一根电线杆：路程 = 车长 200 米，
t = 200 ÷ 20 = 10秒
【点睛】
火车过桥口诀：「过桥加车长，在桥减车长，过杆只算车长」。
单位必须统一：若速度给的是千米/小时，先换 1 米/秒 = 3.6 千米/小时。
例5 环形跑道与多次相遇
【例题】
甲、乙两人在周长 400 米的环形跑道上，甲每秒跑 6 米，乙每秒跑 4 米。
（1）两人同时同地同向出发，甲第一次追上乙需要多少秒？
（2）两人同时同地反向出发，第一次相遇需要多少秒？若一直跑下去，第 3 次相遇时两人路程之和是多少？
【解析】
（1）同向追及：路程差 = 一圈t = C ÷ (v甲 − v乙) = 400 ÷ (6 − 4) = 200（秒）
（2）反向相遇：路程和 = 一圈t = C ÷ (v甲 + v乙) = 400 ÷ (6 + 4) = 40（秒）
第 3 次相遇（同地出发反向）：路程和 = 3 圈 = 3 × 400 = 1200（米）
时间 t = 1200 ÷ 10 = 120 秒。
【点睛】
- 环形同向：差一圈；反向：合一圈。第 k 次就乘 k。
- 异地两端出发的多次相遇用
(2n−1)S；同地出发的环形相遇用kC。
两套模型不要混！判断依据是：出发点是「两端异地」还是「同地环形」。
5.5 易错警示
（1）单位陷阱
| 错误 | 正确 |
|---|---|
| 把 72 千米/小时直接代入「米」的路程 | 72 ÷ 3.6 = 20 米/秒 |
| 时间用小时、速度用米/秒 | 全题统一：要么「米+秒」，要么「千米+小时」 |
换算关系：1 米/秒 = 3.6 千米/小时，1 千米/小时 = 1/3.6 米/秒。
（2）平均速度陷阱
- 不是速度的算术平均
(v₁+v₂)/2（除非时间相同）。 - 等距离往返：
v̄ = 2v₁v₂/(v₁+v₂)（调和平均，偏向较慢的那个速度）。 - 万能定义：
v̄ = 总路程 ÷ 总时间，有疑问就用定义重算。
（3）多次相遇陷阱
| 情形 | 第 n 次相遇路程和 | 速记 |
|---|---|---|
| 两端出发、异地相向 | (2n − 1)S | 1S, 3S, 5S… |
| 同地出发、环形相向 | nC | 1C, 2C, 3C… |
| 同地出发、环形同向追及 | nC（路程差） | 1C, 2C… |
- 「第 n 次相遇」与「第 n 次迎面相遇」可能略有差别（有的教材对「背后追上」另计），读题看清是相向相遇还是追及。
- 多次相遇常问「距某地多远」：画图，按路程和反推每人位置，注意往返后方向变了。
（4）其他高频坑
- 追及题的路程差是初始差距，不是全程。
- 火车过桥漏加/多减车长。
- 出发时间不同：先走的一段要单独算。
- 流水题给「漂浮物速度」= 水速（物随水漂，无船速）。
5.6 自测练习
环形跑道 400 米，甲 6 米/秒、乙 4 米/秒，同时同地同向出发，甲第一次追上乙需几秒？
【参考答案】t = 400 ÷ (6−4) = 200秒。一条船静水速度 10 千米/小时，水流速度 2 千米/小时。逆水航行 48 千米需要几小时？
【参考答案】 逆水速度 =10 − 2 = 8，t = 48 ÷ 8 = 6小时。甲、乙分别从 A、B 两地同时出发相向而行，第一次相遇点距 A 地 60 米。两人继续前进，到达对方出发点后立即返回。求第二次相遇点距 A 地多远。（设 A、B 两地相距 150 米）
【参考答案】 第一次相遇：甲走 60 米，甲速度占全程比60/150 = 2/5。
第二次相遇路程和 =3S = 450，甲共走450 × 2/5 = 180米。
甲路线：A→B（150）→折返 30 米，故距 A150 − 30 = 120米。
（答：距 A 地 120 米，即距 B 地 30 米。）