第四章　工程问题

4.1 考情定位

维度	说明
考频	国考、省考几乎每年必考，数量关系「送分+稳定」题型
题量	常见 1～2 题，偶有与经济、浓度拼盘
难度	基础题占七成；轮流、注水排水、多人多阶段略难
核心能力	赋值法 + 效率合成 + 分段/周期处理
建议用时	基础题 40～60 秒，中档题 60～90 秒

信号词识别：题干出现「单独完成需…天/小时」「合作」「效率」「轮流」「注满/放空」「完成这项工程/任务」→ 立刻判定为工程问题。

4.2 核心公式

工程问题只围绕一个关系展开：

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工作总量 W = 工作效率 P × 工作时间 t

等价变形（必须熟到能反写）：

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P = W ÷ t
t = W ÷ P

常用派生公式：

场景	公式（文字表述）	行内写法
多人合作	合作效率 = 各人效率之和	`P合 = P₁ + P₂ + … + Pₙ`
合作时间	时间 = 总量 ÷ 合作效率	`t = W ÷ P合`
效率比	效率之比 = 完成时间的反比	`P₁:P₂ = t₂:t₁`（同一 W）
分段工作	各段工作量之和 = 总量	`Σ(Pᵢ × tᵢ) = W`
轮流工作	先算整周期，再算尾巴	见 4.5 例 3
注水排水	净效率 = 进水效率 − 出水效率	`P净 = P进 − P出`

一句话记忆：总量不变时，效率与时间成反比；合作就是效率相加，不是时间相加。

4.3 赋值策略表（工程问题提速核心）

工程题常「只给时间」或「只给效率比」，不给具体工作量。此时赋值比设 x 更快。

已知条件类型	赋值策略	赋值后效果	典型例子
给定时间型（甲 10 天、乙 15 天）	赋总量 `W` 为各时间的最小公倍数	各人效率变成整数	`W=30`，甲效率 3、乙效率 2
效率比型（甲效率是乙的 2 倍）	直接按比例赋效率为整数	总量由「效率×时间」推出	甲效率 2、乙效率 1
给具体工作量（修路 600 米）	不赋值，直接用具体量列式	方程法	`W=600`
混合型（时间 + 效率比）	先赋效率比，再由时间反推总量	兼顾两边	甲:乙=2:1，甲 6 天 → W=12
求合作天数	优先赋总量为公倍数	避免分数运算	12 与 24 → `W=24`
注水排水	赋池容量为进、出时间的公倍数	进/出效率为整数	6 小时进满、8 小时放空 → `W=24`

赋值三原则：

能赋总量就赋总量（给时间时），优先最小公倍数，让效率变整数。
能赋效率就赋效率（给比例时），按比设整数份。
赋值只为简化计算，不改变题目比例关系，答案唯一。

4.4 解题模型（通用四步）

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第1步　判型：给时间型 / 效率比型 / 轮流型 / 注排水型
第2步　赋值：总量=时间公倍数，或效率=比值整数
第3步　列式：算效率 → 列合作/分段/净效率方程
第4步　收尾：求时间或工作量；轮流题务必处理「不足一个周期的尾巴」

模型速查

题型	关键动作	一句话口诀
给定时间型	赋总量为最小公倍数	「时间取公倍，效率自然整」
效率比型	按比赋效率	「比值当份数，总量乘时间」
轮流工作	周期效率 + 尾巴逐日算	「先整周期，再剥尾巴」
注水排水	进正出负，算净效率	「同开看净值，只进只出单独算」
中途加入/退出	分段列工作量	「谁在场用谁的效率」

4.5 例题精讲

例1 合作完工（给定时间型）

【例题】
一项工程，甲单独做需 10 天完成，乙单独做需 15 天完成。若两人合作，需要多少天完成？

【解析】

判型：只给甲、乙单独时间 → 给定时间型。
赋值：取 10 与 15 的最小公倍数，赋工作总量 W = 30。
算效率：
- 甲效率 P甲 = 30 ÷ 10 = 3
- 乙效率 P乙 = 30 ÷ 15 = 2
- 合作效率 P合 = 3 + 2 = 5
求时间：t = W ÷ P合 = 30 ÷ 5 = 6（天）。

也可用「效率与时间成反比」验证：
甲、乙效率比 P甲:P乙 = 15:10 = 3:2，合作效率相当于 5 份，甲单独是 3 份对应 10 天，则 5 份对应 10 × 3 ÷ 5 = 6 天。

【点睛】
给定时间型的标准动作就是：W = lcm(各时间)，立刻得到整数效率。不要设「总量为 1」再通分——考场上分数运算最容易拖慢且算错。

例2 由合作反求单独时间（效率比型）

【例题】
甲的工作效率是乙的 2 倍。一项工程甲单独做需 6 天完成，若两人合作，需要多少天完成？

【解析】

判型：给效率比 + 甲的单独时间 → 效率比型。
赋值：令乙效率 P乙 = 1，则 P甲 = 2。
求总量：甲单独 6 天，W = P甲 × 6 = 2 × 6 = 12。
合作：P合 = 2 + 1 = 3，t = 12 ÷ 3 = 4（天）。

【点睛】
效率比型用「份数」代替具体效率，全程整数。若题目反过来给「合作时间求单独时间」，同样先赋效率比，再用 W = P合 × t合 定总量。

例3 甲乙轮流工作

【例题】
一项工程，甲单独做需 10 天，乙单独做需 15 天。现按「甲做 1 天、乙做 1 天」的顺序轮流工作，完成这项工程共需多少天？

【解析】

赋值：W = 30，P甲 = 3，P乙 = 2。
算周期：每 2 天为一个周期，完成工作量 3 + 2 = 5。
整周期：30 ÷ 5 = 6 个周期，恰好整除！
- 6 个周期 = 12 天，完成 6 × 5 = 30，刚好完工。

若数据改为「甲 10 天、乙 18 天」（W = 90，甲 9、乙 5，每 2 天做 14）：

90 ÷ 14 = 6 个周期余 6，前 12 天完成 84；
第 13 天甲做 9，84 + 9 = 93 > 90，故第 13 天即可完工（不必做完一整天）。
口诀：整周期 + 尾巴逐日（或逐人）判断是否提前完成。

【点睛】
轮流问题绝不能直接用合作效率公式 W ÷ P合！W ÷ P合 算的是「两人同时干」的天数，与「交替干」的口径不同。轮流必须：先看一个周期的工作量 → 算完整周期数 → 剩余部分按轮流顺序一天一天扣。注意「提前完工」：尾巴不必做满，够了就停。

例4 进水管与出水管（注水排水）

【例题】
一个空水池，单开进水管 6 小时可注满，单开出水管 8 小时可将满池水放完。若两管同时打开，需要多少小时可将空池注满？

【解析】

赋值：赋池容量 W = 24（6 与 8 的最小公倍数）。
效率：
- 进水效率 P进 = 24 ÷ 6 = 4
- 出水效率 P出 = 24 ÷ 8 = 3
- 净效率 P净 = 4 − 3 = 1
时间：t = 24 ÷ 1 = 24（小时）。

变式（注满后两管同开多久放空？）：
满池 W = 24，同开净效率仍是 4 − 3 = 1（进水仍在进），若水池已满且进水管关闭，只开出管：t = 24 ÷ 3 = 8 小时。
若「满池、进水继续开、只靠出水要变空」在本题净效率为正，永远放不空——先判断净效率正负。

【点睛】
注水排水 = 工程问题的变体：进水为正、出水为负，净效率相加减。

净效率 > 0 → 水位上升，可注满
净效率 < 0 → 水位下降，可放空
净效率 = 0 → 水位不变
赋池容量为进、出时间的最小公倍数，计算最干净。

4.6 易错警示

易错点	错误表现	正确做法
合作效率	把时间相加或相减	效率相加：`P合 = P₁+P₂`
轮流工作	直接 `W ÷ (P₁+P₂)`	算周期工作量 + 尾巴，防「提前完工」
效率与时间	把效率比当成时间比	同一总量下效率比 = 时间反比
注水排水	进出效率相加	进正出负，算净效率
中途加入	全程用合作效率	分段：谁在场用谁的效率
赋值总量	赋 1 后通分一堆分数	赋时间的最小公倍数
单位	天/小时混用	全题统一时间单位再列式
「完成」理解	认为必须整天做完	可能提前完工，尾巴够即停

4.7 自测练习

一项工程，甲单独做 12 天完成，乙单独做 24 天完成。两人合作需要多少天？
【参考答案】W = 24，甲 2、乙 1，合作 3，t = 24 ÷ 3 = 8 天。
甲的工作效率是乙的 3 倍，两人合作 8 天完成一项工程。甲单独做需要多少天？
【参考答案】 赋乙效率 1、甲效率 3，合作 4，W = 4 × 8 = 32。甲单独：32 ÷ 3 = 32/3 天。
（若要求整数天的题干，再按题意取整或验算。）
一个水池，甲管 6 小时注满，乙管 8 小时放空。空池两管同开，几小时注满？若先单开甲管 2 小时后再两管同开，共需几小时注满？
【参考答案】W = 24，甲进 4/时，乙出 3/时，净 1/时 → 同开注满需 24 小时。
先单开甲 2 小时：注入 8，余 16；再同开净 1/时 → 还需 16 小时。共 2 + 16 = 18 小时。