补7　天平称重（找次品）

补7.1 考情与识别信号

考情：策略与逻辑交叉考点，行测偶考，通常 1 题。核心是三分法与 3^k 上界。

识别信号：天平称、次品、轻了/重了、至少称几次才能保证找出。

补7.2 核心公式与结论

情形一：已知次品偏轻（或偏重）

• 每次把物品尽量 均分三组，称两组：
  • 平衡 → 次品在第三组
  • 不平衡 → 次品在较轻（或较重）那组
• 一次称量可把范围缩到 1/3
• 最少次数

$$k=\lceil {\log }_{3}N\rceil$$

即找到最小 k 使 3^k ≥ N。

N 范围	最少次数 k
1～3	1
4～9	2
10～27	3
28～81	4

情形二：不知次品偏轻还是偏重（仅知有 1 个异常）

• 经典结论：12 个零件，3 次可保证找出并判定轻重
• 一般上界更紧，公考若出现默认考「12 个、3 次」或「已知偏轻」两类

补7.3 解题步骤

1. 定情形：已知轻/重，还是未知。
2. 看 N 与 3 的幂：3、9、27… 边界要敏感。
3. 三分构造：均分三组，称两组。
4. 答「保证」次数：取 ⌈log₃ N⌉，不是「运气好一次」。

补7.4 例题精讲

例7 天平称重

有 9 瓶胶囊，其中 1 瓶被污染略轻，其余 8 瓶同样重。用天平（无法码）至少要称几次，才能保证找出那瓶较轻的？

【解析】

1. 已知偏轻 → 三分法。
2. N = 9，3² = 9 ≥ 9，k = 2。
3. 具体方案：
   • 第 1 次：分三组各 3 瓶，任称两组。
     • 平衡 → 轻的在未称的 3 瓶
     • 不平衡 → 轻的在翘起（较轻）的 3 瓶
   • 第 2 次：从可疑的 3 瓶中任取 2 瓶对称。
     • 平衡 → 第 3 瓶是轻的
     • 不平衡 → 翘起的那瓶是轻的

2 次即可保证。

【点睛】

• 口诀：「均分三份，称二定一；次数 log 以三。」
• N = 3^k 时，恰好 k 次且每步必须均分。
• 「至少…保证」问的是 最坏情况，不是平均或最好情况。

补7.5 易错警示

1. 「至少 2 次」与「保证 2 次」：保证是上界策略，运气好可能 1 次就出，但不能算。
2. N=9 称 3 次：多余；9 = 3²，2 次够。
3. 对称比较的是「组」不是「个」：一次天平两盘可放多个。
4. 未知轻重：不能简单套 ⌈log₃ N⌉，12 个的「3 次保证」是特例结论。

补7.6 自测练习

自测 1　27 枚金币中有 1 枚略轻，至少称几次保证找出？

自测 2　10 个零件中 1 个偏重，至少称几次保证找出？

自测 1：3³ = 27，k = 3 次。

自测 2：3² = 9 < 10 ≤ 27 = 3³，k = 3 次。

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