§32 数量关系进阶零基础（容斥 / 最不利 / 排列组合…）
32.0 进阶题型怎么认（先看关键词）
| 题干关键词 | 题型 | 先想 |
|---|---|---|
| 「既…又…」「至少一项」「都不」 | 容斥 | 文氏图 / A+B−AB |
| 「至少…才能保证」 | 最不利 | 最坏情况+1 |
| 「吃草/抽水/售票口」 | 牛吃草 | 原有量+新长 |
| 「排队、选人、安排顺序」 | 排列组合 | 分步乘、分类加 |
| 「抽中、命中、中奖」 | 概率 | 目标数÷总数 |
| 「第 n 项、总和」 | 数列 | 等差/等比公式 |
| 「整数解、多少种」 | 不定方程 | 奇偶、整除、代入 |
32.1 容斥原理
速算视角：两集合用“至少一个＝两者和－都满足”；三集合先列公式再核对。
解法真源：《数量关系手册》第八章 容斥原理。
32.1.4 例题（6 道）
例 32.1｜两集合基础
- 题： 50 人中，喜欢篮球 30，喜欢足球 25，两样都喜欢 10。至少喜欢一样的？
- 项： A. 35 B. 40 C. 45 D. 55
- 答： C
- 解： 30+25−10=45。
例 32.2｜都不
- 题： 承上题，两样都不喜欢的有？
- 项： A. 3 B. 5 C. 10 D. 15
- 答： B
- 解： 50−45=5。
例 32.3｜求交集
- 题： 60 人，喜欢 A 的 40，喜欢 B 的 35，至少喜欢一样的 55。两样都喜欢？
- 项： A. 15 B. 20 C. 25 D. 30
- 答： B
- 解： 40+35−x=55 ⇒ x=20。
例 32.4｜三集合标准公式
- 题： 单科喜欢：语文 20、数学 25、英语 18；两两都喜欢（均含三科都喜欢的）分别为 6、5、4；三科都喜欢 2。至少喜欢一科的？
- 项： A. 45 B. 50 C. 55 D. 60
- 答： B
- 解： |A∪B∪C|=20+25+18−6−5−4+2=50。
- 拨： 两两交集若「含三科」，套公式时要加回一次三科。
例 32.5｜只有两科
- 题： 100 人参加两科，A 科及格 70，B 科及格 60，都不及格 20。两科都及格？
- 项： A. 40 B. 50 C. 60 D. 70
- 答： B
- 解： 至少一科=80；70+60−x=80 ⇒ x=50。
例 32.6｜文氏图填空
- 题： 只喜欢电影 12，只喜欢音乐 8，都喜欢 5。喜欢电影或音乐的共？
- 项： A. 20 B. 25 C. 28 D. 30
- 答： B
- 解： 12+8+5=25。
32.2 最不利原则（「至少…才能保证」）
速算视角：“至少……才能保证”＝最坏情况＋1；抽屉问题看物品数如何分配。
解法真源：《数量关系手册》第十章 最值问题。
32.2.3 例题（6 道）
例 32.7｜抽屉原理经典
- 题： 袋中有红球 5、蓝球 4、白球 3。至少摸几个，才能保证有 2 个同色？
- 项： A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
- 答： B
- 解： 最坏：红蓝白各 1 个=3；再摸 1 个必同色 ⇒ 4。
例 32.8｜保证某种颜色
- 题： 同上袋，至少摸几个才能保证摸到红球？
- 项： A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
- 答： D
- 解： 最坏：先摸完所有非红（4+3=7）；再摸 1 个必红 ⇒ 8。
例 32.9｜扑克牌
- 题： 一副牌 4 种花色各 13 张。至少抽几张，才能保证 2 张同花色？
- 项： A. 4 B. 5 C. 13 D. 14
- 答： B
- 解： 最坏 4 种各 1 张；+1=5。
例 32.10｜保证 3 张同色
- 题： 红 8、黄 6、蓝 5。至少摸几个保证 3 张同色？
- 项： A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
- 答： A
- 解： 最坏：每色摸 2 张=6；再摸 1 张必有某色第 3 张 ⇒ 7。
例 32.11｜与「至少一个」区分
- 题： 下列哪句要用最不利原则？
- 项： A. 至少有一个红球的概率 B. 保证有红球至少摸几个 C. 期望摸到几个红球 D. 红球占比
- 答： B
- 解： 「保证」⇒ 最不利。
例 32.12｜数字题
- 题： 1–10 中任取，至少取几个数，保证必有两个数之和为 11？（配对：1+10,2+9,…5+6，共 5 对）
- 项： A. 5 B. 6 C. 7 D. 11
- 答： B
- 解： 最坏：每对取 1 个=5 个数仍可能无和为 11；再取 1 个必凑成一对 ⇒ 6。
32.3 牛吃草问题
速算视角：设牛的效率为 1，净变化量＝吃掉量－增长量。
解法真源：《数量关系手册》第十三章 经典模型专题。
32.3.4 例题（4 道）
例 32.13｜经典双场景
- 题： 牧场草，20 头牛 10 天吃完，30 头牛 6 天吃完。原有草量？每天长草？
- 项： A. y=120，x=10 B. y=100，x=10 C. y=120，x=12 D. y=150，x=5
- 答： D
- 解：
y+10x=200；y+6x=180
相减：4x=20 ⇒ x=5；y=200−50=150。
例 32.14｜求可供几头
- 题： 承上，若让草永远吃不完（每天吃的=每天长的），可放几头牛？
- 项： A. 3 B. 5 C. 10 D. 15
- 答： B
- 解： 每天长 x=5 份，每牛吃 1 份 ⇒ 5 头。
例 32.15｜几天吃完
- 题： 承上，25 头牛几天吃完？
- 项： A. 5 B. 6 C. 7.5 D. 8
- 答： C
- 解： 150+5t=25t ⇒ 150=20t ⇒ t=7.5。
例 32.16｜变式：抽水机（牛吃草同构）
- 题： 泳池原有水 30，每小时进水 2。用 5 台抽水机（每台每小时抽 1），几小时抽干？
- 项： A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
- 答： C
- 解： 30+2t=5t ⇒ 3t=30 ⇒ t=10。
32.4 排列组合零基础
速算视角：先分类后分步；排列组合常用动作是捆绑、插空、插板。
解法真源：《数量关系手册》第九章 排列组合与概率。
32.4.3 例题（8 道）
例 32.17｜乘法原理
- 题： 3 件上衣、4 条裤子，各选 1 件搭配，多少种？
- 项： A. 7 B. 10 C. 12 D. 16
- 答： C
- 解： 3×4=12。
例 32.18｜加法原理
- 题： 从甲地到乙地，飞机 2 班、火车 3 班、汽车 4 班，任选一种，多少种走法？
- 项： A. 9 B. 24 C. 20 D. 12
- 答： A
- 解： 2+3+4=9。
例 32.19｜排列（顺序有关）
- 题： 5 人站成一排照相，多少种站法？
- 项： A. 25 B. 60 C. 120 D. 720
- 答： C
- 解： A(5,5)=5!=120。
例 32.20｜组合（顺序无关）
- 题： 从 6 人中选 2 人参加会议，多少种选法？
- 项： A. 12 B. 15 C. 30 D. 36
- 答： B
- 解： C(6,2)=6×5/2=15。
例 32.21｜捆绑法
- 题： 5 人排队，甲乙必须相邻，多少种？
- 项： A. 24 B. 48 C. 60 D. 120
- 答： B
- 解： 把甲乙捆成 1 个 ⇒ 共 4 个「元素」全排列 4!；甲乙内部 2!
24×2=48。
例 32.22｜插空法
- 题： 3 位男生不相邻，2 位女生先排好（2 种），男生插入空隙。多少种？
- 项： A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
- 答： A
- 解： 女生 2 人产生 3 个空；男生 A(3,3)=6；2×6=12。
例 32.23｜插板法
- 题： 10 个相同名额分给 3 个班，每班至少 1 个，多少种分法？
- 项： A. 28 B. 36 C. 45 D. 55
- 答： B
- 解： C(10−1, 3−1)=C(9,2)=36。
例 32.24｜先选后排
- 题： 从 5 男 4 女中选 3 人，要求至少 1 女，多少种选法？
- 项： A. 64 B. 70 C. 74 D. 84
- 答： C
- 解： 全体 C(9,3)=84；无女 C(5,3)=10；至少一女=84−10=74。
32.5 概率零基础
速算视角：等可能事件用计数；复杂概率优先考虑对立事件。
解法真源：《数量关系手册》第九章 排列组合与概率。
32.5.2 例题（4 道）
例 32.25｜古典概型
- 题： 袋中 3 红 2 白，任摸 1 球，红球概率？
- 项： A. 2/5 B. 3/5 C. 1/2 D. 2/3
- 答： B
- 解： 3/(3+2)=3/5。
例 32.26｜对立
- 题： 射击命中率 0.8，不中概率？
- 项： A. 0.2 B. 0.8 C. 0.16 D. 0.64
- 答： A
- 解： 1−0.8=0.2。
例 32.27｜独立
- 题： 甲中 0.7，乙中 0.6，两人都中？
- 项： A. 0.42 B. 0.65 C. 0.70 D. 1.30
- 答： A
- 解： 0.7×0.6=0.42。
例 32.28｜反向
- 题： 3 道题，每题正确率 0.8，至少 1 题正确的概率约为？
- 项： A. 0.008 B. 0.488 C. 0.512 D. 0.992
- 答： D
- 解： 全错=0.2³=0.008；至少一对=1−0.008=0.992。
32.6 数列与不定方程（补两块高频）
速算视角：等差数列看公差与项数；不定方程先用奇偶、整除缩小范围。
解法真源：《数量关系手册》第十一章 数列与不定方程。
32.6.3 例题（4 道）
例 32.29｜等差和
- 题： 2+4+6+…+100 的和？
- 项： A. 2500 B. 2550 C. 2600 D. 5050
- 答： B
- 解： 项数 n=(100−2)/2+1=50；S=50×(2+100)/2=2550。
例 32.30｜求第 n 项
- 题： 等差数列 a₁=3，d=5，a₁₀=？
- 项： A. 45 B. 48 C. 50 D. 53
- 答： B
- 解： 3+9×5=48。
例 32.31｜不定方程
- 题： 2x+5y=23，x、y 非负整数，x+y=？
- 项： A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
- 答： B
- 解： y=3 ⇒ 2x=8 ⇒ x=4 ⇒ 和 7。（y=1 时 x=9，和 10；选项无 10 故取 7，否则多解）
例 32.32｜奇偶筛
- 题： 3x+5y=41，正整数，y 可能是？
- 项： A. 2 B. 4 C. 5 D. 8
- 答： B
- 解： 代入 B：y=4 ⇒ 3x=21 ⇒ x=7。选 B。
32.7 几何与日期（速览）
速算视角：几何常考公式与日期周期性作速查；细节推导留在真源。
解法真源：《数量关系手册》第十二章 几何问题；第三章 3.3 周期。
32.7.3 例题（2 道）
例 32.33｜勾股
- 题： 直角边 3 与 4，斜边？
- 项： A. 5 B. 6 C. 7 D. 25
- 答： A
- 解： √(9+16)=5。
例 32.34｜闰年
- 题： 下列是闰年的是？
- 项： A. 1900 B. 2000 C. 2023 D. 2100
- 答： B
- 解： 2000÷400=5 ⇒ 闰年；1900、2100 被 100 整除但不被 400 整除，平年。
32.8 Level D｜进阶数量训练（与 §31.6 对称）
| 题 | 内容 | 答 |
|---|---|---|
| D1 | 50 人，篮 30 足 25 交 10，至少一样 | 45 |
| D2 | 同上，都不 | 5 |
| D3 | 红 5 蓝 4 白 3，保证同色 2 个 | 4 |
| D4 | 保证摸到红球 | 8 |
| D5 | 20 头 10 天 / 30 头 6 天，x,y | x=5,y=150 |
| D6 | 5 人全排 | 120 |
| D7 | C(6,2) | 15 |
| D8 | 5 人中甲乙相邻 | 48 |
| D9 | 10 名额 3 班各至少 1 | 36 |
| D10 | 至少 1 女，5 男 4 选 3 | 74 |
| D11 | 0.7×0.6 | 0.42 |
| D12 | 1−0.2³ | 0.992 |
| D13 | 2+4+…+100 | 2550 |
| D14 | 2x+5y=23，x+y | 7 |
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