边缘题型
国考出现频率低、省考或联考偶考；识别特征明显时优先套公式，不硬算。
鸡兔同笼
- 识别特征：已知总头数与总脚数，求各多少只（或等价「两种单价/两种车轮」）
- 核心公式：假设全是一种，则另一种数量=(实际脚数−假设脚数)÷脚数差
- 例：鸡兔共n头m脚，则兔=(m−2n)÷2
- 变式：
- 汽车(4轮)与三轮车：三轮=(总轮数−4×总车数)÷(−1)
- 百钱买百鸡类：列不定方程+奇偶/整除
- 陷阱：脚数差分母是「单只脚数差」，不是总差
盈亏问题
| 类型 | 公式 |
|---|---|
| 一盈一亏 | 人数=(盈+亏)÷两次分配差 |
| 两次都盈 | 人数=(大盈−小盈)÷两次分配差 |
| 两次都亏 | 人数=(大亏−小亏)÷两次分配差 |
| 关键 | 每人差 = 两次分配标准之差 |
- 识别特征：「每人分a个多/少x个；每人分b个多/少y个」
- 核心公式：
- 人数=(盈+亏)÷两次分配差（一盈一亏）
- 人数=(大盈−小盈)÷分配差（两盈）
- 人数=(大亏−小亏)÷分配差（两亏）
- 变式：分配对象从「人」换成「组/班/天」同理
植树问题
| 类型 | 公式 |
|---|---|
| 两端都植 | 棵数=段数+1=全长÷间距+1 |
| 只植一端 | 棵数=段数=全长÷间距 |
| 两端都不植 | 棵数=段数−1 |
| 封闭曲线 | 棵数=段数=周长÷间距 |
| 变式 | 锯木段数=刀数+1；爬楼层数=楼层数差 |
| 情形 | 棵数 |
|---|---|
| 线形两端都栽 | 段数+1 |
| 线形一端栽 | 段数 |
| 线形两端不栽 | 段数−1 |
| 环形/封闭 | 段数 |
| 楼梯/台阶（两端都不在平台上栽） | 层数（=段数） |
- 段数=总长÷间距（必须整除或向上取整看题意）
- 变式：路旁两侧栽树×2；正方形四角都栽要减重复
方阵问题
| 考点 | 公式 |
|---|---|
| 实心方阵总人数 | N=a²（a为每边人数） |
| 最外层人数 | 4a−4 |
| 相邻两层 | 外层比内层多 8 人 |
| 空心方阵 | 总数=外层²−(外层−2×层数)² |
| 三角/五角等 | 本质是等差数列求和 |
- 识别特征：实心/空心方阵、最外层人数
- 核心公式：
- 实心方阵总人数=N²（N为每边人数）
- 最外层人数=4N−4
- 相邻两层每边差2人，层间人数差8
- 空心方阵：外边N、内边n，则人数=N²−n²
- 陷阱：「每边人数」与「最外层人数」别混
日期星期问题
| 考点 | 方法 |
|---|---|
| 天数差 | 用日序号差；平年365=52周+1天，闰年366=52周+2天 |
| 星期推算 | 起点星期 + 天数差 mod 7 |
| 闰年 | 能被4整除且不能被100整除，或能被400整除 |
| 2月 | 平年28天，闰年29天 |
| 跨月计算 | 用「每月天数表」31/28/31/30… |
- 闰年：能被4整除且不能被100整除，或能被400整除
- 大小月：31天（1,3,5,7,8,10,12）；30天（4,6,9,11）；2月28/29
- 星期推算：总天数÷7看余数；余0则星期不变
- 跨年：平年365≡1(mod7)，闰年366≡2(mod7)
- 变式：某月有5个星期五问1号星期几——先定该月天数与「多出的2或3天」
空瓶换水
| 考点 | 公式 |
|---|---|
| m个空瓶换1瓶水 | 实际喝到 = 空瓶数÷(m−1)（借瓶思想） |
| 例 | 3空瓶换1瓶：10空瓶→借1瓶→喝完共15瓶 |
| 关键 | 向老板借瓶可凑整 |
- 识别特征：「k个空瓶换1瓶水」，问最多喝多少
- 核心公式：若换回的水连瓶可再换，则最多喝水数=原有空瓶数÷(k−1)（能整除时）
- 推导：每喝1瓶产生1个空瓶；k空瓶=1水，相当于每(k−1)空瓶净得1水
- 变式：「k个空瓶换1瓶水但不给瓶」则不能滚动兑换，只能换⌊原有÷k⌋次
- 陷阱：看清是「连瓶兑换」还是「只给水不给瓶」
页码问题
| 考点 | 方法 |
|---|---|
| 1–n页共用了多少数字 | 1–9：9×1；10–99：90×2；100–999：900×3 |
| 含数字x出现次数 | 按位数分段计数；0不能作首位 |
| 书页对折/装订 | 一张纸两页：一奇一偶，和=2n+1 |
- 识别特征：「一本书共n页，共用了多少个数字/数码」
- 分段计数：
- 1–9：9页×1个数字=9
- 10–99：90页×2=180
- 100–999：900页×3=2700
- 1000–9999：9000页×4
- 变式：数字1/0出现次数——按位统计（个位每10个一轮，十位每100个一轮…）
天平称重
| 考点 | 方法 |
|---|---|
| 从n个中找1个次品（轻/重已知） | 三分法：次数=⌈log₃n⌉ |
| 不知轻重 | 先三分，再借正品对照 |
| 称量组合 | 1、3、9、27…砝码可称 1–40（3的幂） |
- 识别特征：「用最少砝码称出1–W克」
- 核心公式：砝码取1,3,9,27…（3的幂）可称1到(3^(k+1)−1)/2
- 3个砝码1,3,9 → 称1–13
- 4个砝码 → 称1–40
- 变式：只放一边（不能放两边抵消）则用1,2,4,8…（2的幂），可称1到2^(k+1)−1
干支纪年
| 考点 | 方法 |
|---|---|
| 天干 | (年份−3) mod 10 → 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸 |
| 地支 | (年份−3) mod 12 → 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥 |
| 生肖 | 地支对应鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪 |
| 间隔 | 天干60/10=6轮一循环；干支组合60年一甲子 |
- 天干：(年份−3) mod 10 → 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸
- 地支：(年份−3) mod 12 → 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥
- 周期：60年一甲子
- 变式：已知某年干支求另一年——算年份差 mod 60
统筹问题
| 类型 | 思想 |
|---|---|
| 时间统筹 | 能并行则并行；总时间=关键路径最长 |
| 货物集中/运费 | 往加权中位数点集中总运费最小 |
| 排队/工序 | 排序：短作业优先（SJF）总等待最短 |
| 最少花费 | 先算单价/性价比，再约束条件枚举 |
- 时间统筹：并行能并则并；关键路径最长
- 货物集中/装载：往中间某点集中总运费最小（加权中位数思想）
- 最少花费：分段计费比较临界点；先满优惠再付原价
- 识别特征：「怎样安排时间最短/运费最少/方案最优」
余数问题
| 考点 | 要点 |
|---|---|
| 同余特性 | a≡b(mod m) ⇒ a+c≡b+c，a×c≡b×c |
| 逐级满足 | 除以3余2、除以5余3…→ 从最大除数往后枚举，或用中国剩余定理 |
| 周期余数 | 总数÷周期看余数；余0取最后一项 |
| 特性 | 两个数除以m同余 ⇔ 差能被m整除 |
- 同余特性：a≡b(mod m) 则 a+c≡b+c，a×c≡b×c
- 周期余数：总数÷周期看余数，余0取最后一天/最后一项
- 中国剩余定理（弱形式）：两两互质时可用逐级满足法
- 变式：「除以3余2、除以5余3」找最小正整数——枚举或逐级构造
比赛问题
| 类型 | 公式 |
|---|---|
| 单循环（每两人赛一场） | 场次=n(n−1)/2 |
| 双循环（主客） | 场次=n(n−1) |
| 淘汰赛（决出冠军） | 场次=n−1 |
| 排名/积分 | 胜平负积分按规则；先比积分再比净胜球等 |
| 赛制 | 场次 |
|---|---|
| 单循环（每两队赛一场） | C(n,2)=n(n−1)/2 |
| 双循环（主客场） | A(n,2)=n(n−1) |
| 淘汰赛（决出冠军） | n−1 |
| 分组循环再淘汰 | 组内C+淘汰赛 |
- 变式：积分问题（胜3平1负0）用总分范围反推
过河/爬井问题
- 过河：船需人划，总人数M、船容量N、划船人数A
- 渡河次数=(M−A)÷(N−A)，向上取整；若算「往返次数」则最后一次不过河
- 公式本质：每次实际净送(N−A)人
- 爬井：白天爬X晚上滑Y，井深M
- 天数=⌈(M−Y)÷(X−Y)⌉（最后一天爬出不再下滑）
- 或：先算需要完整周期数，再单独处理最后一天
- 四牛过河：最快者往返接引（类似过桥问题：两快者先过，快者回，两慢者过，次快回）
循环周期问题
| 考点 | 方法 |
|---|---|
| 基本 | 总数÷周期=q…r；r=0取周期最后一项，r>0取第r项 |
| 常见周期 | 星期7、季节4、生肖12、天干10、地支12 |
| 干支组合 | 60一甲子 |
| 递推周期 | 先算前几项找规律，再对周期取余 |
- 方法：总数÷周期=q…r
- r=0 → 取周期最后一项
- r>0 → 取周期第r项
- 常见周期：星期7、季度4、干支60、报数循环n、颜色/形状循环题干给
- 变式：多项周期嵌套——分别取余再组合
数字推理（仅部分省考）
| 类型 | 识别特征 |
|---|---|
| 等差数列 | 相邻差恒定；二级差恒定 |
| 等比数列 | 相邻比恒定 |
| 和数列 | 第n项=前两项和/差/积/商 |
| 递推数列 | 三项递推：aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂ 或 aₙ=2aₙ₋₁−aₙ₋₂ 等 |
| 幂次数列 | 与1,4,9,16…或1,8,27…接近；修正±k |
| 多重数列 | 交叉（奇偶项各成数列）或分组（每3项一组） |
| 分数数列 | 通分后看分子/分母规律；或前后项约分 |
| 质数/合数 | 2,3,5,7,11… 或 4,6,8,9,10… |
| 阶乘/特殊 | 1,2,6,24,120…（n!）；组合数数列 |
- 解题顺序：先求差→再求比→再看和积递推→再看幂次附近→最后交叉/分组
- 陷阱：质数数列不要把1当质数；幂次修正要统一（都+1或都−1）