第三章　和差倍比 · 年龄 · 周期

本章三类题是数量关系的"送分三兄弟"：模型固定、公式少、变形有限。目标是读题即建模，建模即出数。

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3.1 和差倍比

考情定位

• 几乎每年必考，或作为其他题型的"零件"出现。
• 题干特征：共、和、差、倍、多几、少几、几分之几。
• 难度：★～★★，但要警惕"两三个量+多层关系"的中档题。

核心公式

模型	条件	公式
和差问题	已知 a+b 与 a−b	大 = (和+差)/2，小 = (和−差)/2
和倍问题	已知 a+b 与 a=kb	小 = 和/(k+1)，大 = k×小
差倍问题	已知 a−b 与 a=kb	小 = 差/(k−1)，大 = k×小
份数法	连比 a🅱️c	各量 = 一份 × 对应份数；一份 = 总量/份数和
多几少几	甲 = 乙×k ± b	先去掉 b 再按倍数处理

常用技巧：

1. 见倍设份：甲是乙的 3 倍 → 乙 = x，甲 = 3x。
2. 和差先求大小：直接套 (和±差)/2，别绕方程。
3. 多层关系从里往外消元，或列表代入。
4. 三人及以上用连比统一一份。

解题模型（四步）

1. 翻译"A 比 B 的 k 倍多 b"为等式。
2. 确定设谁（通常设一份量）。
3. 代入和/差/总量求一份。
4. 答所求并回代。

【例题1】

两数之和为 94，大数比小数的 4 倍少 6。求这两个数。

【解析】

设小数为 x，则大数为 4x − 6。

x + (4x − 6) = 945x − 6 = 945x = 100x = 20

小数 20，大数 4×20 − 6 = 74。

验证：20 + 74 = 94 ✓，74 = 4×20 − 6 ✓。

【点睛】 "k 倍少 b"的翻译是命门：大 = k小 − b。设小数为 x 可避免分数。若解出非整数而选项全是整数，先回头检查"多/少"是否写反、是否该设另一量为 x。翻译关把住，这类题就是一分钟的事。

【例题2】

某单位举办活动，甲组人数比乙组多 12 人，甲组人数是乙组的 1.5 倍。两组共有多少人？

A. 48　　B. 54　　C. 60　　D. 72

【解析】

方法一（设元）：设乙组 x 人，则甲组 1.5x 人。 1.5x − x = 12 → 0.5x = 12 → x = 24。 甲 = 36，共 36 + 24 = 60 人。

方法二（差倍公式）：小 = 差 ÷ (k−1) = 12 ÷ 0.5 = 24；大 = 24 + 12 = 36；和 = 60。

方法三（份数）：1.5 倍 = 3:2，甲 3 份、乙 2 份，多 1 份 = 12 人，共 5 份 = 60 人。

选 C。

【点睛】 差倍公式 小 = 差 ÷ (k−1) 要背熟。1.5 倍立刻化成 3:2 用份数，往往比方程更快。三种方法应都会，考场选最快的那条。

【易错警示】

• "多几/少几"必须先加减再乘的顺序搞清楚：A = kB + b 与 A = k(B+b) 完全不同。
• 和差公式 (和±差)/2 中，"差"是大减小的正差。
• 1.5 倍 = 3/2，要习惯用份数（3 份、2 份）而不是死算小数。

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3.2 年龄问题模型

考情定位

• 高频基础题，常与和差倍比结合。
• 特征词：年龄、几年前、几年后、岁数之和/之差、倍数。

核心不变量（最重要的一条）

年龄差永远不变。

无论经过多少年，两人年龄差恒定；年龄和随时间线性变化：每过 1 年，和增加 2（两人各长 1 岁）；每退 1 年，和减少 2。

核心公式与模型

模型	关系
年龄差恒定	现在差 = 过去差 = 未来差
年龄和	过了 n 年，和增加 2n
年龄倍数	倍数随时间趋向 1（大的相对变小）
标准方程	设现在年龄，"几年前/几年后"统一用现在量 ± n

解题步骤

1. 画时间轴（过去—现在—未来），标出各时点年龄表达式。
2. 用"年龄差不变"列方程（最常用）。
3. 倍数条件写在对应时点，不写串。
4. 解出后回代检验（年龄为正整数、差恒定）。

【例题3】

今年父亲年龄是儿子年龄的 5 倍。12 年后，父亲年龄是儿子年龄的 2 倍。问今年儿子多少岁？

A. 4　　B. 6　　C. 8　　D. 10

【解析】

设今年儿子 x 岁，则父亲 5x 岁。

12 年后：儿子 x+12，父亲 5x+12。

5x + 12 = 2(x + 12)5x + 12 = 2x + 243x = 12x = 4

今年儿子 4 岁，父亲 20 岁。验证年龄差 16 岁不变：12 年后儿子 16、父亲 32，32 = 2×16 ✓。选 A。

【点睛】 年龄问题十有八九用"年龄差不变"列式更快： 差 = 5x − x = 4x；12 年后差仍是 4x，且等于 (2−1)×(x+12) = x+12。 故 4x = x+12 → x = 4，一步到位。

【例题4】

甲、乙、丙三人年龄之和为 92 岁。甲的年龄是乙的 2 倍，丙比甲小 8 岁。问乙多少岁？

A. 16　　B. 18　　C. 20　　D. 24

【解析】

设乙 = x，则甲 = 2x，丙 = 2x − 8。

x + 2x + (2x − 8) = 925x − 8 = 925x = 100x = 20

乙 20 岁，甲 40 岁，丙 32 岁。验证：20+40+32=92 ✓，40=2×20 ✓，32=40−8 ✓。选 C。

【点睛】 三人年龄题就是"和倍 + 多几少几"的组合，设乙为 x 一个未知数全搞定。若给的是"几年后三人年龄和"，先减去 3n 换算到现在再列式。

【易错警示】

• "年龄差不变"是金律，但年龄和会变，别把现在的和套到别的时点。
• 倍数只在对应时点成立："今年 5 倍"≠"永远 5 倍"。
• 常见坑：问"几年后"却答"今年"；问"父亲"却答"儿子"。最后 3 秒扫一眼问法。

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3.3 周期 / 星期 / 日期

考情定位

• 中低频但稳定，常 1 题；副省喜欢和最值、余数结合。
• 特征词：每……一次、星期、日期、循环、余数、第 n 天、过多少天。

核心公式

1. 基本周期

总个数 = 周期数 × 每周期个数 + 余数
位置 = 余数对应的那个（余 0 则取周期最后一个）

2. 星期推算

• 过 1 天，星期 +1；过 7 天，星期不变。
• 过 n 天：星期后推 n mod 7；往回推同样用 mod 7。
• 闰年 366 天（52 周零 2 天），平年 365 天（52 周零 1 天）。

3. 日期与天数

月份	天数
1、3、5、7、8、10、12	31
4、6、9、11	30
2（平年）	28
2（闰年）	29

闰年判定： 能被 4 整除且不能被 100 整除，或能被 400 整除。

4. 求某月某日是星期几

天数差 mod 7 → 从已知星期加减。

解题模型

1. 确定周期长度 T。
2. 用 N mod T 求余数 r。
3. r 对应周期中的第 r 个（r=0 对应第 T 个）。
4. 星期/日期题先算总天数，再 mod 7。

【例题5】

把 1 到 2024 的自然数依次写成一排：123456789101112……，问第 2024 个数字是几？

A. 0　　B. 1　　C. 2　　D. 3

【解析】

这是"数字个数分段计数"（与周期同理：先扣满段，再定位余数）：

• 1～9：9 个数 × 1 位 = 9 位
• 10～99：90 个数 × 2 位 = 180 位
• 100～999：900 个数 × 3 位 = 2700 位

前 9 + 180 = 189 位；到 999 写完共 2889 位 > 2024，故第 2024 位落在三位数区间。

还差 2024 − 189 = 1835 位。 1835 ÷ 3 = 611 余 2：先写完 611 个三位数（100 到 710），再写下一个数 711 的前 2 位（7、1）。

所以第 2024 个数字是 1。选 B。

【点睛】 "第 N 个数字是几"先分段扣位数：一位数扣 9，两位数扣 180，看 N 落在哪一层，再除以该层位数求余。余 1、余 2、余 3 分别对应下一个数的第 1、2、3 位。

【例题6】

今天是星期二，问过 100 天后是星期几？

A. 星期三　　B. 星期四　　C. 星期五　　D. 星期六

【解析】

100 ÷ 7 = 14 余 2，过 100 天相当于过 2 天。 星期二 + 2 = 星期四。选 B。

【点睛】 星期题只看 天数 mod 7。往回推（多少天前）同样用 mod 7，但改为减。跨月/跨年先把总天数算清，再 mod 7。

【例题7】

某会议每 3 天开一次，某年 3 月 1 日开了第一次。问第 30 次会议是几月几日？

A. 5 月 25 日　　B. 5 月 27 日　　C. 5 月 29 日　　D. 5 月 30 日

【解析】

"每 3 天一次"= 间隔 3 天。第 n 次比第 1 次晚 3 × (n−1) 天。

第 30 次晚 3 × 29 = 87 天。

从 3 月 1 日往后加 87 天：

• 3 月 1 日 + 30 天 → 3 月 31 日（用掉 30 天，剩 57 天）
• 3 月 31 日 + 30 天 → 4 月 30 日（再用 30 天，剩 27 天）
• 4 月 30 日 + 27 天 → 5 月 27 日（用完 87 天）

选 B。

【点睛】 "每 t 天一次"第 n 次比第 1 次晚 t×(n−1)，不是 t×n。日期加减用"扣完整月"最不易错。起点那一天是第 1 次，不要当第 0 次。

【易错警示】

• 周期题 mod 后余 0 对应周期最后一个，不是第 0 个。
• "每 3 天"= 间隔 3 天，不是"3 天内"。
• 星期加减要 mod 7，跨年别忘闰年 2 月 29 日。
• 问"第 N 个数字/第 N 项"时，先分段再定位，不要直接 N mod 周期。

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3.4 例题精讲

【例题A】和差倍比 + 年龄

小明和爸爸的年龄之和是 64 岁。8 年前，爸爸的年龄是小明的 7 倍。问小明今年多少岁？

A. 10　　B. 12　　C. 14　　D. 16

【解析】

方法一（设现在量）：设小明今年 x 岁，爸爸 64 − x 岁。

8 年前：小明 x − 8，爸爸 64 − x − 8 = 56 − x。

(56 − x) = 7(x − 8)56 − x = 7x − 56112 = 8xx = 14

方法二（先换算到"8 年前"）：8 年前两人年龄和 = 64 − 2×8 = 48。 8 年前爸爸是小明 7 倍，和倍模型：小明 = 48 ÷ (7+1) = 6 岁。 今年小明 6 + 8 = 14 岁。

验证：今年小明 14、爸爸 50，和 64 ✓；8 年前 6 与 42，42 = 7×6 ✓。选 C。

【点睛】 年龄和是"现在"的和；条件在"8 年前"，要么整体回退再列倍数，要么先用 和 − 2n 换算到过去。方法二几乎口算，务必掌握。

【例题B】周期 + 余数

一列数按"3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6"这 8 个数字循环排列。问前 2024 个数字之和是多少？

A. 7750　　B. 7843　　C. 7936　　D. 8029

【解析】

一个周期和 = 3+1+4+1+5+9+2+6 = 31。

2024 ÷ 8 = 253 余 0，即刚好 253 个完整周期。

总和 = 253 × 31 = 253 × 30 + 253 = 7590 + 253 = 7843。

选 B。

【点睛】 余 0 就是"刚好整周期"，和 = 周期数 × 单周期和。若余 r，再加周期的前 r 个。周期求和三步：求单周期、除一除、乘加余。

【例题C】和差倍比（连比）

甲、乙、丙三人分奖金，甲与乙之比为 3:2，乙与丙之比为 4:5。已知丙比甲少 240 元。问奖金总额是多少元？

A. 3300　　B. 3600　　C. 3900　　D. 4200

【解析】

统一连比：甲:乙 = 3:2 = 6:4，乙:丙 = 4:5，故甲:乙:丙 = 6:4:5。

丙比甲少 6 − 5 = 1 份 = 240 元 → 1 份 = 240 元。

总额 = (6+4+5) × 240 = 15 × 240 = 3600 元。选 B。

验证：甲 1440、乙 960、丙 1200；甲:乙 = 1440:960 = 3:2 ✓，乙:丙 = 960:1200 = 4:5 ✓，丙比甲少 240 ✓。

【点睛】 两两比必须统一连比（对齐中间量乙：3:2→6:4）。差对应的份数差就是答案钥匙。连比口诀："中间量对齐，外项乘进去"。

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3.5 易错警示汇总（本章）

1. 和差公式用反：大 = (和+差)/2，小 = (和−差)/2，差取大减小。
2. 倍数与加减顺序：A = kB ± b，先乘后加减；A = k(B ± b) 另当别论。
3. 年龄差恒定但年龄和不恒定；回退/前进 n 年，和增减 2n。
4. 周期余 0 对应周期末项；"每 t 天"间隔是 t，第 n 次偏移 t(n−1)。
5. 星期计算必须 mod 7；闰年影响跨 2 月的天数。
6. 连比要统一中间量，份数差对应实际差。
7. 数字特性可加速，但不能代替完整验证；最终要回代。

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3.6 自测练习

练习1（和差倍比）

两数之和为 120，大数是小数的 3 倍。求两数之差。

A. 40　　B. 50　　C. 60　　D. 80

小 = 120 ÷ (3+1) = 30，大 = 90，差 = 60。选 C。 或：大 = 3 小，和 = 4 小，差 = 2 小 = 2 × 30 = 60。

练习2（年龄）

今年妈妈的年龄是女儿的 4 倍。5 年后，妈妈的年龄是女儿的 3 倍。问女儿今年多少岁？

A. 5　　B. 8　　C. 10　　D. 15

设女儿今年 x 岁，妈妈 4x 岁。年龄差 3x 恒定不变。 5 年后女儿 x+5，妈妈 4x+5，年龄差仍为 3x；又由"3 倍"知此时差 = 3(x+5) − (x+5) = 2(x+5)。 故 3x = 2(x+5) → 3x = 2x + 10 → x = 10。 验证：女儿 10、妈妈 40；5 年后 15 与 45，45 = 3×15 ✓。选 C。

练习3（周期与星期）

某活动每 5 天举行一次。3 月 3 日举行了第一次。问第 10 次活动是星期几？（已知 3 月 3 日是星期日）

A. 星期二　　B. 星期三　　C. 星期四　　D. 星期五

第 10 次比第 1 次晚 5 × (10−1) = 45 天。 45 ÷ 7 = 6 余 3，星期日往后推 3 天 = 星期三。选 B。

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3.7 讲解板书建议

1. 和差倍比：黑板左侧固定写四个公式（和差/和倍/差倍/份数），右侧一题一图。
2. 年龄问题：先画时间轴再列式，永远先问"什么不变？"→ 年龄差。
3. 周期问题：固定三栏——周期 T | 总数 N | 余数 r → 定位。
4. 本章结束前，让学员脱稿复述：七大通用方法何时用、年龄不变量、周期三步法。能讲出来，才算学会。

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全书口径：副省15题/地市10题；用时副省15～18分钟、地市10～12分钟。

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第二篇　工程·行程·经济·浓度

本篇覆盖数量关系最高频的四类「模型题」：工程问题、行程问题、利润与经济问题、浓度问题。
共同特征：题干信号词鲜明、核心公式固定、方法高度套路化。吃透本篇，可稳定拿下数量关系约 40%～50% 的分值。
学习目标：看到信号词能秒选方法 → 赋值/列式一步到位 → 1 分钟内出答案。

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