第七章 浓度问题
7.1 考情定位
| 维度 | 说明 |
|---|---|
| 考频 | 中高频，常与工程、经济穿插考查 |
| 题量 | 0～1 题，部分省考较多 |
| 难度 | 混合、蒸发加水是基础；多次混合、十字交叉稍难 |
| 核心能力 | 溶质守恒 + 十字交叉 + 赋值 |
| 建议用时 | 40～70 秒 |
信号词识别：「浓度、盐水、糖水、酒精、溶液、混合、蒸发、加水、加盐、倒出再加满」→ 浓度问题。
7.2 核心公式
（1）浓度定义
浓度 = 溶质质量 ÷ 溶液质量 × 100%
溶液 = 溶质 + 溶剂（水）
溶质 = 溶液 × 浓度浓度的分母是溶液（溶质+溶剂），不是溶剂（水）。
（2）溶质守恒（浓度问题的第一原理）
| 操作 | 溶质 | 溶剂（水） | 溶液 | 浓度 |
|---|---|---|---|---|
| 加水 | 不变 | 增加 | 增加 | 降低 |
| 蒸发水 | 不变 | 减少 | 减少 | 升高 |
| 加盐（溶质） | 增加 | 不变 | 增加 | 升高 |
| 取出部分溶液 | 成比例减少 | 成比例减少 | 成比例减少 | 不变 |
| 倒出再加水 | 减少 | 增加 | 恢复原重 | 降低 |
守恒方程（蒸发/加水/混合通用）：
操作前溶质 = 操作后溶质
C₁ × m₁ = C₂ × m₂（3）混合公式
两种溶液混合：
混合后浓度 C = (C₁m₁ + C₂m₂) ÷ (m₁ + m₂)
混合后溶质 = C₁m₁ + C₂m₂
混合后溶液 = m₁ + m₂多种混合同理：C = Σ(Cᵢmᵢ) ÷ Σmᵢ。
（4）十字交叉法（混合配比速算）
已知两溶液浓度 C₁、C₂（C₁ > C混 > C₂），质量比等于浓度差的反比（各自的质量对应「对面」的那个浓度差）：
m₁ : m₂ = |C混 − C₂| : |C₁ − C混|图示记忆：
C₁ |C混 − C₂| → m₁ 份
C混
C₂ |C₁ − C混| → m₂ 份交叉相减后，每个浓度差的绝对值 = 对面那份溶液的质量：
|C混 − C₂|对应 m₁（不是 m₂）|C₁ − C混|对应 m₂（不是 m₁）
速记：「谁的差，管对面的量」——C₁ 与 C混 的差决定 m₂，C₂ 与 C混 的差决定 m₁。
（5）蒸发与加水公式
蒸发水：新溶液 = 溶质 ÷ 新浓度 ；蒸发量 = 原溶液 − 新溶液
加水稀释：新溶液 = 溶质 ÷ 新浓度 ；加水量 = 新溶液 − 原溶液（6）赋值策略
- 只给浓度、不给具体质量 → 赋溶液为 100（或方便的整数）。
- 给了具体质量 → 直接用具体量。
- 多次混合 → 赋初值为 100，逐步算，比代分数快。
7.3 解题模型（浓度通用步骤）
第1步 判型：混合 / 蒸发加水 / 加溶质 / 倒出再加满 / 配比（十字交叉）
第2步 抓溶质：画「操作前 → 操作后」，判断溶质守恒还是增加/减少
第3步 赋值列式：有具体质量用具体量；只给浓度则赋溶液 100
第4步 选工具：混合用加权平均（或十字交叉配比）；蒸发/稀释用「新溶液 = 溶质 ÷ 新浓度」
第5步 收尾：算出浓度或质量差；验算结果是否落在两原浓度之间、溶质是否合理题型速查
| 题型 | 关键量 | 标准动作 |
|---|---|---|
| 两液混合 | 溶质和、溶液和 | C = (C₁m₁+C₂m₂)/(m₁+m₂) |
| 求配比 | 质量比 | 十字交叉：m₁:m₂ = abs(C混−C₂) : abs(C₁−C混) |
| 蒸发浓缩 | 溶质不变 | 新溶液 = 溶质 ÷ 新浓度，差值即蒸发量 |
| 加水稀释 | 溶质不变 | 同上，差值即加水量 |
| 加盐提浓 | 水不变 | 设加盐 x，列 （原溶质+x）/（原溶液+x）= 新浓度 |
| 倒出再加满 | 分步溶质减少 | 逐步算，上一步结果作下一步初值 |
7.4 例题精讲
例1 两种盐水混合求浓度
【例题】
将浓度 20% 的盐水 200 克与浓度 30% 的盐水 300 克混合，所得盐水的浓度是多少？
【解析】
方法一：溶质守恒（推荐，不易错）
- 溶质：
20% × 200 + 30% × 300 = 40 + 90 = 130（克） - 溶液：
200 + 300 = 500（克） - 浓度：
130 ÷ 500 × 100% = 26%
方法二：十字交叉验证
质量比 m₁:m₂ = 200:300 = 2:3（设 20% 为 m₁、30% 为 m₂），按公式：
m₁ : m₂ = |C混 − 30| : |20 − C混| = 2 : 3因 20% 一侧是 200 克（较少），混合浓度应更靠近 30%。因 20 < C < 30，故
(30 − C) : (C − 20) = 2 : 3
3×(30 − C) = 2×(C − 20) 或 (C − 20) : (30 − C) = 3 : 2
90 − 3C = 2C − 40
5C = 130 → C = 26与方法一一致。
【点睛】
- 能用溶质守恒就不要绕十字交叉，守恒最稳。
- 十字交叉适合「已知混合浓度求质量比」或反求；对应关系别标反：
m₁:m₂ = |C混−C₂| : |C₁−C混|。 - 混合浓度一定介于两原浓度之间——可秒排不合理选项。
例2 求蒸发量（蒸发加水）
【例题】
含盐 10% 的盐水 500 克，要使其浓度变为 20%，需要蒸发掉多少克水？
【解析】
抓住：蒸发水时溶质不变。
- 原溶质：
10% × 500 = 50（克） - 新溶液质量：
50 ÷ 20% = 250（克） - 蒸发水量：
500 − 250 = 250（克）
验算：剩 250 克溶液含盐 50 克，50/250 = 20%。正确。
变式（加水稀释）：
若要从 20% 降为 10%，500 克、20% 的盐水含盐 100 克，新溶液 100 ÷ 10% = 1000 克，需加水 1000 − 500 = 500 克。
【点睛】
蒸发/加水问题的标准三步：
① 求溶质（原浓度 × 原溶液）→ 溶质不变
② 新溶液 = 溶质 ÷ 新浓度
③ 蒸发量 = 原 − 新 ；加水量 = 新 − 原7.5 易错点
| 易错点 | 错误表现 | 正确做法 |
|---|---|---|
| 浓度分母 | 用「水的质量」作分母 | 用溶液（溶质+溶剂） |
| 加盐 | 只加溶质不改溶液 | 溶质、溶液都变，溶剂不变 |
| 取出溶液 | 认为浓度变了 | 均匀溶液取出一部分，浓度不变 |
| 倒出再加满 | 认为浓度不变 | 溶质减少、水变多，浓度降低 |
| 十字交叉 | 质量比写反 | m₁:m₂ = abs(C混−C₂) : abs(C₁−C混)，差对应对面的量 |
| 多次混合 | 每次都当独立一次 | 逐步算，上一步的溶液+浓度 = 下一步的初值 |
| 百分数运算 | 20% 写成 20 | 先化成 0.2 或分数再算 |
7.6 自测练习
把 10% 的盐水 400 克与 20% 的盐水若干克混合，得到 15% 的盐水。20% 的盐水需要多少克？
【参考答案】 设需 m 克。溶质：0.1×400 + 0.2m = 0.15(400+m)40 + 0.2m = 60 + 0.15m→0.05m = 20→m = 400克。
（十字交叉：400 : m = 5% : 5% = 1:1，故 m = 400。）浓度 25% 的糖水 300 克，蒸发掉 100 克水后，浓度变为多少？
【参考答案】 溶质 =25% × 300 = 75克，蒸发后溶液 = 200 克，浓度 =75/200 = 37.5%。
3.（综合）有浓度 20% 的盐水 10 千克，要使其浓度变为 40%，需要再加入多少千克盐？（保留一位小数）
【参考答案】 原溶质 2 千克，原水 8 千克。设加盐 x 千克：(2+x)/(10+x) = 0.4 → 2+x = 4 + 0.4x → 0.6x = 2 → x ≈ 3.3 千克。