第八章　容斥原理

考情：容斥几乎每年都有或隔年出现。题干特征极明显——「既…又…」「至少一项」「都不」「只满足某一项」。公式题 30 秒可解；三集合与文氏图题需要动手画圈，但思路固定。

8.1 为什么容斥要「加了再减」

把两个集合的人数直接相加，交集部分被算了两次，所以要减掉一次交集：

• 「都喜欢」的人，在「喜欢 A」里算了一次，在「喜欢 B」里又算了一次；
• 合并两科时，这批人被重复计数，故 减一次交集 得到「至少喜欢一科」。

同理，三集合时两两交集被多减，三科都满足的部分被减过头，要加回来一次。

8.2 两集合公式

母公式（两集合容斥）

$$\mid A\cup B\mid =\mid A\mid +\mid B\mid -\mid A\cap B\mid$$

$$\text{总数}=|A\cup B|+|\text{都不}|$$

常用变形（务必背熟）

考问	公式
至少满足一项	$\mid A\cup B\mid =A+B-A\cap B$ 或 card(A∪B)
只满足 A 一项	$A-A\cap B$
只满足 B 一项	$B-A\cap B$
只满足一项（合计）	$A+B-2(A\cap B)$
都不满足	总数 $-(A+B-A\cap B)$
已知总数与都不，求交	$A\cap B=A+B-(\text{总数}-\text{都不})$

识题信号：出现「两种属性、既…又…、都不」→ 两集合容斥。

8.3 三集合公式

标准公式（给出「两两交集」且通常含三交）

$$|A\cup B\cup C|=A+B+C-A\cap B-A\cap C-B\cap C+A\cap B\cap C$$

$$\text{都不}=\text{总数}-|A\cup B\cup C|$$

使用前提（极重要）：题干中的 $A\cap B、A\cap C、B\cap C$ 是「同时满足两项的人数」（包含三项都满足的人），可直接套上式，末尾 +三交。

若题目给的是「只满足两项」（恰好两项，不含三项都选），则：

$$|A\cup B\cup C|=A+B+C-(\text{只两项之和})-2\times (\text{三项都满足})$$

或直接用文氏图分块求和，更稳。

8.4 文氏图法步骤（三集合通用）

选择题里凡是「只、恰、都不、至多」等分块问法，优先画图填空，不要硬套公式。

步骤（从里往外填）

1. 画三个相交的圆，标 A、B、C，外框写总数。
2. 先填三交 $A\cap B\cap C$（最里层）。
3. 再填「只两两交」：
   • 只 AB（不含 C）= $A\cap B-A\cap B\cap C$
   • 只 AC、只 BC 同理。
4. 填「只属于一个集合」：
   • 只 A = $A-(\text{只}AB+\text{只}AC+\text{三交})$，B、C 同理。
5. 最外层「都不」 = 总数 − 七个区域之和（或总数 − $A\cup B\cup C$）。
6. 按题干所问的区域加总作答。

口诀：先三交，再两交，后单圈，最后算都不。

8.5 例题精讲

例 8-1 两集合基础·求都不

【例题】某班 30 人，喜欢数学的 18 人，喜欢语文的 15 人，两科都喜欢的 8 人。两科都不喜欢的有几人？

【解析】

$$|A\cup B|=18+15-8=25$$

$$\text{都不}=30-25=5$$

答案：5 人。

【点睛】先求「至少喜欢一科」，再用总数减。「都不」是补集，永远最后一步。

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例 8-2 只会一项

【例题】某班 40 人，会打篮球的 20 人，会踢足球的 15 人，两项都会的 5 人。只会踢足球的有几人？只会一项的共几人？

【解析】

$$\text{只会足球}=15-5=10$$

$$\text{只会篮球}=20-5=15$$

$$\text{只会一项}=15+10=25\text{（或 }20+15-2\times 5=25\text{）}$$

答案：只会足球 10 人；只会一项共 25 人。

【点睛】「只会」= 该集合 − 交集；「只会一项」要减两次交集（交集里的人一项都不「只」算）。这是两集合最高频的陷阱。

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例 8-3 三集合标准式

【例题】某班选 A 课 25 人、B 课 20 人、C 课 18 人；同时选 AB 的 8 人、AC 的 6 人、BC 的 5 人；三科都选的 2 人。至少选一科的有几人？若全班 50 人，三科都没选的有几人？

【解析】

$$|A\cup B\cup C|=25+20+18-8-6-5+2=46$$

$$\text{都没选}=50-46=4$$

答案：至少选一科 46 人；都没选 4 人。

若改问「恰选两科」：

$$\text{恰两科}=(8-2)+(6-2)+(5-2)=6+4+3=13$$

$$\text{恰一科}=46-13-2=31$$

【点睛】两两交集「含三科」时，三科的人被减了 3 次、加回 1 次，净减 2 次——所以末尾必须 +三交。会画文氏图，这类变式都能秒。

8.6 易错警示

1. 「两两交集」是否含三交——含则直接套标准公式；「只两项」要先减三交。
2. 「至少一项」≠「只一项」：至少一项含交集，只一项要减交。
3. 「都不」与「至少」互为补集：问哪个就用总数减另一个。
4. 题干若给「会 A 不会 B」这类表述，翻译成「只 A」再入图。

8.7 自测练习

1. 某单位 60 人，参加培训 A 的 35 人，参加 B 的 28 人，两场都参加的 12 人。两场都没参加的有几人？
2. 某班 50 人，喜欢甲 30 人、乙 25 人，两样都不喜欢的 8 人。两样都喜欢的有几人？
3. 某班 40 人，会英语 22 人、会日语 15 人、会法语 10 人；英日都会 6 人、英法都会 3 人、日法都会 4 人，三语都会 1 人。至少会一门外语的有几人？只会一门外语的有几人？
4. 100 人中，喜欢电影 65、喜欢音乐 50、喜欢戏剧 40；两两都喜欢（含三者）分别为 30、25、20，三者都喜欢 10。三者都不喜欢的有几人？

参考答案

1. $35+28-12=51$，$60-51=$ 9 人。
2. 至少一项 $=50-8=42$；$30+25-x=42$，$x=$ 13 人。
3. 至少会一门外语：$22+15+10-6-3-4+1=35$，都不 $=40-35=5$。
   恰两门：$(6-1)+(3-1)+(4-1)=10$；只一门 $=35-10-1=$ 24 人。
4. 并集 $=65+50+40-30-25-20+10=90$，都不 $=100-90=$ 10 人。

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