第九章　排列组合与概率

考情：排列组合是数量关系第一难点，也是拉分点；古典概率常与其同源。备考关键不是刷偏题，而是模型识别：看到「相邻→捆绑、不相邻→插空、相同元素分组→插板、全错位→错位重排、圆桌→环形」直接套法。

9.1 两大原理（先分「类」还是「步」）

原理	何时用	含义	公式
加法原理	分类（完成一件事有几类互斥办法）	各类都能独立完成	$N = N_{1} + N_{2} + \dots$
乘法原理	分步（完成一件事要连续几步）	缺一不可，步与步相乘	$N = N_{1} \times N_{2} \times \dots$

判断口诀：

「或者」「分成几种情况」→ 加；
「先…再…」「依次」「分步完成」→ 乘。
既有分类又有分步：先分类，类内分步（外加内乘）。

9.2 排列与组合公式

记号	名称	意义	公式	常用值
$A_{n}^{m}$ （或 $P_{n}^{m}$ ）	排列	从 n 个中取 m 个有顺序	$\frac{n !}{( n - m )!}$	$A_{n}^{n} = n!$
$C_{n}^{m}$	组合	从 n 个中取 m 个无顺序	$\frac{n !}{m ! ( n - m )!}$	$C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}$

关系： $A_{n}^{m} = C_{n}^{m} \times m!$ （先选人再排队）。

常用组合数（建议背）：
$C_{3}^{2} = 3, C_{4}^{2} = 6, C_{5}^{2} = 10, C_{6}^{2} = 15, C_{7}^{2} = 21, C_{8}^{2} = 28, C_{5}^{3} = 10, C_{6}^{3} = 20, C_{10}^{2} = 45$ 。

「有序还是无序」一句话判别：

选出的元素若还要排名、分工、坐不同座位、依次担任职务 → 排列；
若只是组成一组、选出即可、不计较次序 → 组合。

9.3 特殊模型表（必背）

模型	识别标志	做法	公式/要点
捆绑法	必须相邻、在一起、连续	先把相邻元素捆成一个整体参与全排列，再排内部	整体排列 × 内部排列
插空法	不相邻、不挨着、隔开	先排无限制元素，再把限制元素插入空隙	空位数 = 无限制元素数 + 1
插板法	相同元素分给若干组，每组至少 1	在 n−1 个空隙中插 m−1 块板	$C_{n - 1}^{m - 1}$
错位重排	谁也不回到原位、全部错开、礼物互赠不重复	直接背结论	$D_{2} = 1, D_{3} = 2, D_{4} = 9, D_{5} = 44, D_{6} = 265$
环形排列	圆桌、围成一圈、项链（可翻转另论）	固定 1 人再排其余	$(n - 1)!$
多排排列	排成前后多排	一般按一排全排列处理	$n!$ （注意是否指定每排人数）
定序问题	顺序固定（如甲在乙前）	全排列后除以定序元素的阶乘	$n! / k!$
分组分配	分组后再分人/分对象	先分组（均分要除阶乘）再分配	均分组：除以组数的阶乘

插板法两条件（缺一不可）：① 元素完全相同；② 每个对象至少 1 个。
若允许为 0：先每人「借 1 个」或用 $x^{'} = x + 1$ 转化；若要求「至少 k 个」：先发 k−1 个再插板。

建模启发（怎么想到用该方法）：先问三句——元素有没有区别？要不要排次序？有没有特殊限制？
有区别且有序→排列，只选不排→组合；再扫关键词：「相邻/在一起」→捆绑，「不相邻」→插空，「相同元素分给若干组且每组至少 1」→插板，「谁也不回原位」→错位重排，「围成一圈」→环形。认出标志再套公式，不要一上来就硬算。

9.4 古典概率

定义（等可能）

P (A) = \frac{事件 A 包含的样本点数}{样本点总数} = \frac{m}{n}

常用性质

情形	公式
互斥事件（不能同时发生）	$P (A \cup B) = P (A) + P (B)$
对立事件	$P (A ˉ) = 1 - P (A)$
独立事件同时发生	$P (A B) = P (A) P (B)$
至少一次/至少一个	$1 - P (全都不)$
分类互斥相加	$P = P_{1} + P_{2} + \dots$

实操：概率题先求「总样本数 n」和「目标样本数 m」，二者都可用排列组合算。
「至少」问题优先用 1 − 都不，比直接分类快。

9.5 例题精讲

例 9-1 排列·全排列

【例题】5 人排成一排照相，共有多少种不同排法？

【解析】5 人全排列

A_{5}^{5} = 5! = 120

答案：120 种。

【点睛】「排成一排」默认有序，直接阶乘。若改「选 3 人照相」则是 $A_{5}^{3} = 60$ 。怎么想到：题干只要求「排成一排」、无其他限制，就是全排列模型。

例 9-2 组合·只选不排

【例题】从 8 名同学中选出 3 人参加比赛，共有多少种选法？若再从中指定 1 名队长，多少种？

【解析】

C_{8}^{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56

指定队长：先选 3 人再定队长，或理解为「选 3 人并选出 1 个队长」

C_{8}^{3} \times 3 = 56 \times 3 = 168

答案：只选 56 种；带队长 168 种。

【点睛】「选出即可」用组合；一旦出现「职务、排名、顺序」就升级为排列（ $A_{8}^{3} = 336$ ，等价于选 3 个不同角色）。怎么想到：先看选出来的人还排不排名——不排就是组合。

例 9-3 捆绑法·相邻

【例题】3 本不同的语文书、2 本不同的数学书排成一排，要求 3 本语文书必须相邻，共有多少种排法？

【解析】

把 3 本语文书捆成 1 个「大元素」，与 2 本数学书共 3 个元素，全排列 $A_{3}^{3} = 6$ ；
语文书内部再排列 $A_{3}^{3} = 6$ ；

6 \times 6 = 36

答案：36 种。

【点睛】捆绑法两步——先捆后排；捆完必须乘内部排列，这是最高频漏乘点。若只捆不乘，会少算 6 倍。怎么想到：看到「必须相邻、在一起」就先捆成一个整体再排。

变式：若 2 本数学书也要相邻，则捆成两个大元素： $A_{2}^{2} \times A_{3}^{3} \times A_{2}^{2} = 2 \times 6 \times 2 = 24$ 。

例 9-4 插空法·不相邻

【例题】4 名男生、2 名女生排成一排，要求 2 名女生不相邻，共有多少种排法？

【解析】

先排 4 名男生： $A_{4}^{4} = 24$ ，形成 5 个空（含两端）；
2 名女生插入 5 个空，且不同空： $A_{5}^{2} = 20$ ；

24 \times 20 = 480

答案：480 种。

【点睛】插空法口诀「先排无限制，再插限制」。空位数 = 已排元素 + 1。怎么想到：限制条件是「不相邻」，就不能让限制元素先排队，必须先排无限制元素再插空。
常用反证：总排法 $A_{6}^{6} = 720$ ，女生相邻捆绑 $A_{2}^{2} \times A_{5}^{5} = 240$ ，不相邻 = $720 - 240 = 480$ ，结果一致——两种思路互验最稳。

例 9-5 插板法·相同元素分组

【例题】将 10 个相同的苹果分给 3 个人，每人至少 1 个，共有多少种分法？

【解析】10 个相同苹果排成一排，有 9 个空，插 2 块板分成 3 份

C_{9}^{2} = 36

答案：36 种。

【点睛】元素相同 + 每人至少 1 → 标准插板。怎么想到：分的东西完全相同、只关心每人几个，就想到插板而不是排列组合。
变式对照：

条件	做法	本题数据
每人至少 1	$C_{n - 1}^{m - 1}$	$C_{9}^{2} = 36$
可以为 0	转化： $x_{i}^{'} = x_{i} + 1$ ，则 $\sum x_{i}^{'} = n + m$ ， $C_{n + m - 1}^{m - 1}$	$C_{12}^{2} = 66$
每人至少 2	先各发 1 个，余 7 个再插板	$C_{6}^{2} = 15$

例 9-6 概率·至少一次

【例题】抛掷两枚均匀硬币，至少出现一枚正面的概率是多少？

【解析】样本点（正正、正反、反正、反反）共 4 个等可能。

P (至少一正) = 1 - P (两反) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

答案： $\frac{3}{4}$ 。

【点睛】「至少」用对立最快。若改为「独立射击，甲命中率 0.6、乙 0.5，至少一人命中」：
$1 - 0.4 \times 0.5 = 0.8$ 。独立事件相乘求「都不」。怎么想到：题干出现「至少一次/至少一个」，优先想 $1 - P (都不)$ ，不要硬分类。

9.6 易错警示

有序无序：选人排职务→排列；选人组队→组合。混淆是第一杀手。
捆绑漏内部：捆完不乘内部排列。
插空排错对象：把「不相邻的人」先排了，应先排其他元素。
插板滥用：元素不相同不能用插板；允许为 0 不可直接 $C_{n - 1}^{m - 1}$ 。
环形与一排：圆桌 $(n - 1)!$ ，不是 $n!$ ；手链问题还要除以 2（可翻转）。
重复计算：分类讨论时同一情形算两次，或均分组忘了除以组数阶乘。
概率分母不等可能：古典概率前提是等可能；掷两个不同骰子有序 36 种，不是 21 种。
「至少」硬分类：样本不大时可用 1−P(都不)，更不易漏。

9.7 自测练习

5 人中选 2 人分别担任正、副组长，共有多少种选法？
7 人站成一排，甲、乙两人必须相邻，共有多少种排法？
6 人站成一排，甲、乙两人不相邻，共有多少种排法？
把 8 个相同的球放入 3 个不同的盒子，每盒至少 1 个，有多少种放法？
4 对夫妇共 8 人围圆桌就坐，每对夫妇相邻，有多少种坐法？
从 5 男 4 女中选 4 人，至少有 1 名女生，有多少种选法？
某射手命中率 0.7，独立射击 3 次，至少命中一次的概率是多少？

参考答案

$A_{5}^{2} = 5 \times 4 =$ 20 种（职务有序）。
捆绑： $A_{2}^{2} \times A_{6}^{6} = 2 \times 720 =$ 1440 种。
总排 $A_{6}^{6} = 720$ ，相邻 $2 \times A_{5}^{5} = 240$ ，不相邻 $720 - 240 =$ 480 种。
$C_{7}^{2} =$ 21 种。
每对夫妇内部 2 种，四对捆成 4 个大元素环排 $(4 - 1)! = 6$ ，共 $2^{4} \times 6 =$ 96 种。
反面：4 人全是男 $C_{5}^{4} = 5$ ；总 $C_{9}^{4} = 126$ ；至少一女 $126 - 5 =$ 121 种。
$1 - 0. 3^{3} = 1 - 0.027 =$ 0.973。