第十章　最值问题

考情：最值题题干标志极强——「至少…才能保证」「最多/最少」「最大…最小」。国考与省考高频，属于套路题：认准模型后 30～60 秒应出答案。

10.1 最不利原则（「至少…才能保证」）

核心思想

要「保证」某结果发生，就要按最倒霉、最坏的情况去构造：先把所有「差一点就成功」的情形都取走，再多取 1 个，此时必然成功。

母公式

保证所需次数 = 最坏情况数 + 1

最坏情况怎么构造

目标	最坏情况（差一步失败）	再 +1
保证 2 个同色	每种颜色各取 1 个	必有一色出现第 2 个
保证 3 个同色	每种颜色各取 2 个	必有一色出现第 3 个
保证摸到红球	把所有非红球全部取完	再取必红
保证某对配对成功	每一对里各取 1 个	再取必凑成一对
保证 n 张同花色	每种花色取 n−1 张	再取必有花色到 n 张

识别口诀

出现「保证」二字 → 最不利原则；
「至少摸出几个，才能保证…」→ 最坏 + 1；
「至少摸出几个，可能摸到…」→ 不是保证，是最小有利情况（考得少）。

10.2 构造极值（和定最值）

若干数之和一定，求某个量的最大/最小——其余量往极端推。

核心方向表（设共有 n 个数，和为 S，且均满足题设约束）

设问	构造方向	公式思路
求最大数的最小值	其余尽量大（逼高那个最大数）	平均数上取整 / 先均分再微调
求最大数的最大值	其余尽量小	$S - 其余最小和$
求最小数的最大值	其余尽量小（且 ≥ 该最小数），即全体均分	均分思想，最小值不超过平均数
求最小数的最小值	其余尽量大到极限，只让一个极小	注意是否允许相同、是否正整数
求第 k 大的最大/最小	定向排序后极端推	画数轴标位置最直观

两条铁律

是否要求互不相同——相同可均分；不同则在均分基础上 ±1 拉开。
是否要求正整数/非负整数/整数——最小值常卡在 1 或 0。

「最大数的最小值」标准模板（n 个正整数，和为 S，求最大者至少多大）：

⌈ \frac{S}{n} ⌉

（若要求互不相同，需在均分附近微调：从平均数附近取连续整数再验证。）

10.3 抽屉原理

基本型：把 $n + 1$ 个物品放入 $n$ 个抽屉，至少有一个抽屉不少于 2 个物品。

一般型：把 $m$ 个物品放入 $n$ 个抽屉，则至少有一个抽屉不少于

⌈ \frac{m}{n} ⌉

与最不利的关系：抽屉原理讲的是「必然性」；解题时往往转化为构造最坏分配再 +1，与 10.1 同源。

常见应用：整数、余数分类（mod 3 分 3 抽屉）、配对问题、几何点位染色。

10.4 例题精讲

例 10-1 最不利原则

【例题】袋中有红球 5 个、白球 4 个、黑球 3 个，至少摸出多少个球，才能保证有 2 个同色的球？

【解析】构造最坏：最倒霉的情况是每种颜色各摸 1 个（已摸 3 个，仍无同色）。此时再摸 1 个，无论是什么颜色，必与已有三色之一相同。

3 + 1 = 4

答案：4 个。

【点睛】

若把题目改成「保证摸到 2 个红球」：最坏 = 先把 4 白 + 3 黑全摸走（7 个）+ 红球摸 1 个（还差 1 红）= 8，再 +1 = 9 个。
若改成「保证 3 个同色」：最坏每色摸 2 个 = 6，+1 = 7 个。
「同色」与「指定颜色」最坏构造完全不同，务必看清问法。

例 10-2 构造极值·和定最值

【例题】5 个互不相同的正整数之和为 35，这 5 个数中最大数最大是多少？最大数最小是多少？

【解析】

（1）最大数最大
其余 4 个互不相同的正整数尽量小：1、2、3、4，和为 10。

最大数 = 35 - 10 = 25

（2）最大数最小
把 35 尽量均分给 5 个数，平均 $35 \div 5 = 7$ 。
若取 5 个连续整数围绕 7：5、6、7、8、9，和为 35，最大数为 9。
（若最大数取 8，则五个互不相同正整数最大只能是 4、5、6、7、8，和 30 < 35，矛盾。）

答案：最大数最大 25；最大数最小 9。

【点睛】

「互不相同」时先用连续整数试均分；
「可以相同」时最大数最小 = $⌈ 35/5 ⌉ = 7$ ；
求最大就让其余最小，求最小就让其余最大——方向先定，再卡整数。

10.5 易错警示

「至少…可能」与「至少…才能保证」不同：前者问最有利最小值，后者用最坏+1。
最坏情况漏掉「指定目标自身也要取走一部分」（如保证 2 个红球，最坏里已有 1 个红）。
和定最值忘记「互不相同」或「正整数（最小是 1 不是 0）」。
求「最大值的最小值」与「最小值的最大值」方向弄反——用「其余尽量大/小」口诀检查。
抽屉构造时抽屉没找对（如按奇偶、按余数分类才对）。

10.6 自测练习

一副扑克牌去掉大小王后剩 52 张（4 种花色各 13 张），至少抽几张，才能保证有 4 张同花色？
袋中有 3 种颜色的球各足够多，至少摸几个才能保证有 4 个同色？
7 个互不相同的正整数之和为 50，最大数最小是多少？最大数最大是多少？
将 20 个苹果分给 5 个小朋友（每人可为 0），人数最多的小朋友最少拿几个？
证明：任意 5 个整数中，必有 3 个数之和是 3 的倍数。（提示：按除以 3 的余数 0、1、2 分抽屉）

参考答案

最坏每花色 3 张 = 12，+1 = 13 张。
最坏每色 3 个 = 9，+1 = 10 个。
最大数最小：先把 50 均摊， $50 \div 7 \approx 7.14$ ，取靠近的 7 个连续整数 4～10（和为 49），把 10 改为 11 得 50，即 4,5,6,7,8,9,11，最大数最小为 11。（若最大数只能到 10，七个互不相同正整数最大只能是 4～10，和 49 < 50，故至少 11。）
最大数最大：其余 6 个互不相同正整数尽量小，取 1～6，和为 21，最大数 $50 - 21 =$ 29。
尽量均分： $20 \div 5 = 4$ ，可均分时最多者最少 4 个。
按余数分 3 个抽屉，5 个数必有一个抽屉 ≥2…完整证明常用：要么某抽屉 ≥3（三数同余，和被 3 整除），要么三个抽屉各 ≥1（取余 0、1、2 各一，和被 3 整除）。