第十一章　数列与不定方程

考情：数列题（等差为主）与不定方程（整数解）属中频但稳定考点。数列靠公式与脚标运算；不定方程靠整除、奇偶、代入三板斧，一般 1 分钟内可锁定唯一解。

11.1 等差数列

通项与求和（必背）

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2} = n a_{1} + \frac{n ( n - 1 )}{2} d

性质（选择题秒杀）

$a_{m} - a_{n} = (m - n) d$ ，脚标差与项值差成比例。
若 $m + n = p + q$ ，则 $a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q}$ 。
$S_{n}$ 是二次函数型（d≠0）；等差中项： $2 b = a + c$ 。
连续等长片段和仍成等差。

常用技巧

求「第 n 项」先求 d；求「前 n 项和」优先用 $S_{n} = n \times 中间项$ （n 为奇数时）。
日期、年龄、等间隔计数常暗藏等差。
不要求首项时可巧设对称项：三项可设 $a - d, a, a + d$ 。

11.2 等比数列

a_{n} = a_{1} q^{n - 1}

S_{n} = \frac{a _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q} (q \neq = 1)

要点：行测等比考查少，常见于「翻倍、增长率不变、半衰期」。若 $q = 1$ ，则 $S_{n} = n a_{1}$ 。
等比中项： $b^{2} = a c$ （同号）。

11.3 不定方程

未知数个数多于方程个数，且解为整数（人数、件数、天数、辆数）。这是行测真题的主战场。

解题总思路：先锁范围，再定性质，最后代入

工具	何时用	操作
整除 / 倍数	系数与常数有公因数	把式子看成「倍数 = …」，筛掉不可能的取值
奇偶性	系数一奇一偶、常数奇偶	判断奇偶唯一性，常直接定解
尾数	系数含 5、10、25	看个位，快速排除选项
代入选项	选择题	从居中或奇偶特征项开始试
放缩夹逼	有大小限制	先定一个未知数的上下界，再穷举另一
同余（mod）	除以某个数看余数	$a x + b y = c$ 两边模 k

标准操作流程

化简：约掉公因数（如 $4 x + 6 y = 20$ 化为 $2 x + 3 y = 10$ ）。
定符号：x、y 是否正整数、非负整数、自然数（0 是否允许）。
用整除/奇偶卡其中一个变量的可能值（通常只有 2～4 个）。
代入求另一个，再用题干约束（大小、奇偶、实际意义）取舍。
若问 $x + y$ 、最值、方案数，把合格解全部列出再答。

二元一次不定方程通解（了解）
对 $a x + b y = c$ （a、b 互质），若特解为 $(x_{0}, y_{0})$ ，则

x = x_{0} + b t, y = y_{0} - a t (t \in Z)

行测一般不需要写通解，穷举更直观。

11.4 例题精讲

例 11-1 等差数列

【例题】等差数列首项 3，公差 4，求第 10 项与前 10 项和。

【解析】

a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 4 = 3 + 36 = 39

S_{10} = \frac{10 \times ( 3 + 39 )}{2} = 5 \times 42 = 210

答案：第 10 项 39，前 10 项和 210。

【点睛】也可用 $S_{10} = 10 \times 3 + \frac{10 \times 9}{2} \times 4 = 30 + 180 = 210$ ，两式互验。
性质秒杀： $a_{6} + a_{5} = a_{1} + a_{10} = 42$ ， $S_{10} = 5 \times 42 = 210$ 。

例 11-2 不定方程·整除与奇偶

【例题】3x + 5y = 31，x、y 为正整数。求所有解，及 x+y 的最大值。

【解析】

奇偶：3x 奇偶性随 x，5y 随 y；31 为奇，故 x、y 一奇一偶。
整除/放缩：y 至少 1，5y ≤ 30 ⇒ y ≤ 6。
枚举（y 从 1 到 6）：

y	3x = 31−5y	x	是否正整数	x+y
1	26	非整数	否	—
2	21	7	是	9
3	16	非整数	否	—
4	11	非整数	否	—
5	6	2	是	7
6	1	非整数	否	—

答案：两组解 $(x, y) = (7, 2)$ 或 $(2, 5)$ ；x+y 的最大值为 9。

【点睛】

本题系数小，直接枚举小的那个变量最快。
若问「x 最大」：y 取最小可行值 2，x=7。
实战中可从选项反代：若选项有 9、7，先验 9。
若方程为 $5 x + 3 y = 42$ 求 x 最大：y=0? 若要求非负，y=0 时 x=42/5 非整数；y=4 时 x=6；y=9 时 x=3；y=14 时 x=0…按题设取舍。

11.5 易错警示

忘记 0 是否算自然数、人数必须为正整数。
约分后解还原错误（解 x、y 不变，但若设了新变量要还原）。
等差脚标算错： $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ ，不是 $a_{1} + n d$ 。
求和公式里 $n (n - 1) /2$ 的 n 是项数不是末项。
不定方程只找到一组解就走人——题目常问「最大/最小/多少种」。

11.6 自测练习

等差数列中 $a_{3} = 10$ ， $a_{7} = 22$ ，求 $a_{1}$ 、d 与 $S_{10}$ 。
5x + 3y = 42，x、y 为非负整数，求 x 的最大值与解的组数。
用 1 元和 2 元的邮票拼成 15 元（张数不限但需为整数张），有多少种拼法？
等比数列 $a_{1} = 2$ ， $q = 2$ ，求 $a_{5}$ 与 $S_{5}$ 。
21 名师生住宿，大房间住 4 人、小房间住 3 人，恰好住满，大小房间各多少间？

参考答案

$d = (22 - 10) / (7 - 3) = 3$ ， $a_{1} = 10 - 2 \times 3 = 4$ ， $S_{10} = 10 \times 4 + 45 \times 3 = 40 + 135 =$ 175。
$5 x \leq 42$ ，x 为 5 的倍数特征：x=0 时 y=14；x=3 时 y=9；x=6 时 y=4；x=9 时 45>42 前要减：x=0,3,6 与 x=9 时 y=−1 不行；另 x 使 42−5x ≡ 0 (mod 3)：42−5x ≡ 0 − 2x ≡ 0 ⇒ x ≡ 0 (mod 3)。x=0,3,6。x 最大 6（y=4）；共 3 组。
（注意：若 x、y 均正整数则 x=3,6 两组，x 最大 6。）
设 2 元 y 张，则 1 元 (15−2y) 张 ≥ 0，y = 0,1,2,…,7，共 8 种。
$a_{5} = 2 \times 2^{4} = 32$ ， $S_{5} = 2 \times (32 - 1) =$ 62。
$4 x + 3 y = 21$ ，y = 1 时 4x = 18 否；y=3 时 4x=12，x=3；y=7 时 x=0（若允许）；y 必为 3 的倍数相关：4x = 21−3y，右边被 3 整除⇒21−3y 恒被 3，还要被 4 整除。枚举 y=1..6：y=3，x=3；y=7，x=0。若均须 ≥1，则 大 3 间、小 3 间。