第十二章　几何问题

考情：几何题中高频，且公式送分题与比例计算题各占一半。立体几何（切拼、表面积、浸水）近年增多。核心：画图 → 标数据 → 公式/相似 → 估算选项。

12.1 平面几何常用公式

三角形

项目	公式 / 结论
面积	$S=\frac{1}{2}\times \text{底}\times \text{高}$
勾股定理	$a^2+b^2=c^2$（直角）
常用勾股数	(3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17)、(7,24,25)、(9,40,41)
30° 直角三角形	三边 $1:\sqrt{3}:2$（30° 所对直角边是斜边一半）
45° 直角三角形	三边 $1:1:\sqrt{2}$
三角不等式	两边之和大于第三边；两边之差小于第三边
相似	对应角相等；周长比 = 相似比 k；面积比 = k²

四边形与圆

图形	面积 / 周长
正方形	$S=a^2$；周长 $4a$；对角线 $a\sqrt{2}$
长方形	$S=ab$；对角线 $\sqrt{a^2+b^2}$
平行四边形	$S=底\times 高$
梯形	$S=\frac{(a+b)h}{2}$
菱形	$S=\frac{d_1{d}_2}{2}$
圆	$C=2\pi r=\pi d$；$S=\pi r^2$
扇形	$S=\frac{n}{360}\pi r^2$（n 为圆心角度数）

常用面积比结论

• 等底等高面积相等；等底面积比 = 高之比；等高面积比 = 底之比。
• 相似比 k ⇒ 面积比 $k^2$，立体相似体积比 $k^3$。
• 不规则图形：割补法、等积变形、容斥（重叠相减）。

12.2 立体几何常用公式

几何体	体积	表面积
长方体	$V=abc$	$S=2(ab+bc+ca)$
正方体	$V=a^3$	$S=6a^2$
圆柱	$V=\pi r^{2}h$	侧 $2\pi rh$；全 $2\pi r(r+h)$
圆锥	$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$	侧 $\pi rl$（l 母线）
球	$V=\frac{4}{3}\pi r^3$	$S=4\pi r^2$

切拼要点

• 切一刀（与某面平行）：体积不变，表面积多两个切面。
• 浸水/排水：$V_{\text{物}}=S_{\text{底}}\times \Delta h$（溢出体积）。
• 熔铸/拼接：体积不变，表面积会变。

12.3 解题要点

1. 画图标数据：角度、边长、高全部标上。
2. 特殊角用比例：30°、45°、60° 直接进比例，避免反三角。
3. 不规则优先割补，规则则直接公式。
4. 立体先想体积关系，再想表面积。
5. 选项若给出 π 倍数，保留 π 运算更准；若要近似，π 取 3.14。

建模启发（怎么想到用该方法）：先画图标全已知量，再问自己——求的是长度、面积还是体积？
直角/勾股→$a^2+b^2=c^2$；出现「倍、几分之几、平行截线」→相似或等积变形；不规则、拼接、挖切→割补；容器浸水、溢水→体积不变 $V=S_{\text{底}}\Delta h$；切一刀→表面积多两个切面。能用特殊角比例就别硬算反三角。

12.4 例题精讲

例 12-1 勾股与相似

【例题】直角三角形两直角边分别为 3 和 4。求斜边；若将三边同时放大到原来的 2 倍，面积变为原来的几倍？

【解析】

$$c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$

相似比 k = 2，面积比 $k^2=4$。

答案：斜边 5；面积变为 4 倍。

【点睛】3-4-5 是最高频勾股数。面积比是相似比的平方，不是 2 倍——这是几何最常见陷阱。怎么想到：有直角就写勾股；有「放大/缩小几倍」就先定相似比 k，再用面积比 $k^2$。

---

例 12-2 立体切拼与表面积

【例题】一个棱长为 6 的正方体，沿平行于某一面切一刀，切成两个长方体。问表面积增加多少？若切后表面积之和为 252，判断是否可能？

【解析】正方体原表面积 $6\times 6^2=216$。
切一刀多两个面，每个面 $6\times 6=36$，增加 $72$。

$$216+72=288$$

答案：表面积增加 72；切后两块表面积之和为 288，故「252」不可能。

【点睛】切一刀 +2 个切面；挖孔、切角表面积变化要实际数暴露的新面，不能凭感觉。怎么想到：题目问切割后表面积变化，就从「多出/少了哪些面」入手，而不是只改体积。
浸水例子：底面积 50 的圆柱量杯，放入物体后水位上升 2 cm，则物体体积 $V=50\times 2=100$。

12.5 易错警示

1. 面积比写成相似比（漏平方）。
2. 梯形漏除以 2；圆的直径/半径混用。
3. 立体表面积算重或漏底面（游泳池、无盖桶）。
4. 切割后误以为体积变了（体积不变）。
5. 根号与近似值过早化简，导致精度丢失。

12.6 自测练习

1. 正方形边长增加 10%，面积增加百分之多少？
2. 直角三角形斜边 10，一条直角边 6，求另一条直角边与面积。
3. 圆柱底面半径 3、高 5，求侧面积与体积（π 保留）。
4. 一个长 8、宽 5、高 4 的长方体，求体对角线长。
5. 把两个棱长 2 的正方体拼成一个长方体，表面积减少多少？

参考答案

1. $1.1^2=1.21$，面积增加 21%。
2. 另一直角边 $\sqrt{100-36}=8$，面积 $\frac{6\times 8}{2}=$ 24。
3. 侧面积 $2\pi \times 3\times 5=30\pi$；体积 $\pi \times 9\times 5=$ 45π。
4. $\sqrt{8^2+5^2+4^2}=\sqrt{64+25+16}=\sqrt{105}$。
5. 拼合重叠 2 个面，每个 $2\times 2=4$，减少 8。

---