第十三章　经典模型专题

考情：本章模型都是「有母公式的应用题」，变式多但套路固定：识别关键词 → 代母公式 → 解一个方程或三行计算。国考省考都爱考牛吃草与盈亏的变式。

13.1 植树问题

四个基本型

型别	条件	棵数
两端都栽	开放线段	棵数 = 段数 + 1
只栽一端	半开	棵数 = 段数
两端都不栽	闭合外无点	棵数 = 段数 − 1
封闭曲线（圆/方框）	环形	棵数 = 段数

母公式

$$\text{段数}=\text{总长}÷\text{株距}=\text{总长}\times \text{棵距倒数}$$

变形：求总长 = 段数 × 间距；求间距 = 总长 ÷ 段数。

例 13-1 植树基础

【例题】一条路长 120 米，每隔 6 米栽一棵树（两端都栽），共栽多少棵？若改成封闭花坛周长 120 米、每隔 6 米栽一棵，多少棵？

【解析】

$$\text{段数}=120÷6=20$$

两端都栽：$20+1=21$ 棵；封闭：$20$ 棵。

答案：直线 21 棵；封闭 20 棵。

【点睛】先算段数，再看两端；封闭图形 = 棵数 = 段数。爬楼问题同构：楼层数 = 楼梯段数 + 1。

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13.2 盈亏问题

核心：把同一批物品按两种方案分配，比较「盈」（多出）与「亏」（不足）。

母公式

$$\text{人数/份数}=\frac{\text{盈}+\text{亏}}{\text{两次分配差}}$$

两次分配	分子
一盈一亏	盈 + 亏
两次都盈	大盈 − 小盈
两次都亏	大亏 − 小亏

例 13-2 盈亏基础

【例题】一批苹果分给小朋友，每人分 3 个多 12 个；每人分 5 个少 8 个。多少个小朋友？多少个苹果？

【解析】

$$\text{人数}=\frac{12+8}{5-3}=\frac{20}{2}=10$$

$$\text{苹果}=3\times 10+12=42\text{（验：}5\times 10-8=42\text{）}$$

答案：10 人，42 个苹果。

【点睛】一盈一亏分子相加；两次都盈才相减。方程法同样快：设人数 x，$3x+12=5x-8$。

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13.3 牛吃草问题（行程/工程同构）

情境：草匀速生长，牛（抽水机、售票口、入口）匀速消耗。

核心量

• 设 1 头牛 1 天吃 1 份草；
• 原有草量 M，每天新长 r 份；
• N 头牛吃 T 天：

$$M=(N-r)\times T$$

标准方程（两组数据）

$$(N_1-r)T_1=(N_2-r)T_2=M$$

解题三步

1. 设 1 牛 1 天 1 份，把两组条件写成 $(N_i-r)T_i$；
2. 解出 r（日增量）与 M（原有量）；
3. 代入所问：天数 $T=M/(N-r)$，或牛数 $N=M/T+r$。

例 13-3 牛吃草基础

【例题】牧场上草匀速生长，10 头牛可吃 20 天，15 头牛可吃 10 天。25 头牛可吃几天？

【解析】

$$(10-r)\times 20=(15-r)\times 10=M$$

$$200-20r=150-10r\Rightarrow 50=10r\Rightarrow r=5$$

$$M=(10-5)\times 20=100$$

$$T=\frac{100}{25-5}=\frac{100}{20}=5$$

答案：5 天。

【点睛】验算 $M=(15-5)\times 10=100$ 一致。
变式同构：抽水机抽水、排队售票窗口、资源消耗与补给——全部代成「原有 + 新长 − 消耗」。

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13.4 鸡兔同笼

母公式（设全是鸡）

$$\text{兔数}=\frac{\text{总脚数}-2\times \text{总头数}}{2}$$

一般化：设全部为 A 类，则

$$\text{B 的个数}=\frac{\text{总量}-n\cdot a}{b-a}$$

另一路（设全是兔）

$$\text{鸡数}=\frac{4\times \text{总头数}-\text{总脚数}}{4-2}$$

例 13-4 鸡兔同笼基础

【例题】鸡兔同笼，头共 35，脚共 94。鸡兔各几只？

【解析】

$$\text{兔}=\frac{94-2\times 35}{2}=\frac{94-70}{2}=12$$

$$\text{鸡}=35-12=23$$

答案：鸡 23 只，兔 12 只。

【点睛】也可设全是兔：$(4\times 35-94)/(4-2)=46/2=23$，得的是鸡数 23，再 $35-23=12$ 得兔数。注意：设全是兔时应用 $4\times$头数（不是 $2\times$头数）；差值除以脚差 2，得到的是「被错当成兔的鸡」的只数，即鸡数不是兔数。
考试变式：运输货「大车/小车运货」、买票「成人/儿童票价」、抽奖「中奖/未中奖」，都是鸡兔同笼。

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13.5 统筹问题（优化与构造）

常见三类

1. 时间统筹：打水、过河、检修——优先安排耗时短的在前（升序），总等待时间最短。
2. 运费/成本统筹：比较各方案总成本，或用枚举极端（最大运力、最便宜组合）。
3. 行程/调度统筹：用表格列时间轴，找关键路径与并行。

打水模型（经典）
n 人打水，第 i 人用时 $t_i$，按时长从小到大排队 $t_{(1)}\le t_{(2)}\le \cdots \le t_{(n)}$。

口径必须先写清（两种都考，勿混用）

• 总等待时间（不含自己打水时间）：每人只算「等前面人打完」的时间

$$T_{\text{等}}=(n-1)t_{(1)}+(n-2)t_{(2)}+\cdots +1\cdot t_{(n-1)}+0\cdot t_{(n)}$$

• 总占用时间（含自己打水时间）：每人算「排队等到自己打完」

$$T_{\text{占}}=n\cdot t_{(1)}+(n-1)\cdot t_{(2)}+\cdots +2\cdot t_{(n-1)}+1\cdot t_{(n)}$$

两种口径下，按时长升序排队都最优；且 $T_{\text{占}}=T_{\text{等}}+\sum t_i$。

例 13-5 打水排队

【例题】甲、乙、丙、丁四人打水，分别需 3、4、5、6 分钟（不能同时用一个水龙头）。如何排队使四人总等待时间最短？（此处「总等待时间」指各人等前面人打完的时间之和，不含自己打水时间）最短总等待时间多少？

【解析】按 3、4、5、6 升序排序。

$$T_{\text{等}}=3\times 3+2\times 4+1\times 5+0\times 6=9+8+5=22\text{（分钟⋅人）}$$

答案：按 3→4→5→6 打水，总等待时间（不含自己打水）最短为 22 分钟·人。

若改问「每人从开始排队到自己打完的总占用时间之和（含自己打水）」，则

$$T_{\text{占}}=4\times 3+3\times 4+2\times 5+1\times 6=12+12+10+6=40$$

或 $T_{\text{占}}=T_{\text{等}}+(3+4+5+6)=22+18=40$。

【点睛】排序原则「短作业优先」。先看清题干等待口径含不含自己：不含自己用 $(n-1)t_1+\cdots$，含自己用 $n{t}_1+\cdots$，算式与答案必须同一口径。若两个水龙头，则交替分配到总时间近似最小（贪心：当前最闲的龙头接下一个最短作业）。

13.6 易错警示

1. 鸡兔同笼「设全是兔」：应用 $4\times$头数估脚，不是 $2\times$头数；$(4\times 头-脚)/(4-2)$ 得到的是鸡数，不是兔数。
2. 打水/排队「总等待时间」口径：题干若未写明，必须自己先定「含不含自己打水时间」，公式、算式、答案三者口径一致；22（不含自己）与 40（含自己）不能混说。
3. 牛吃草答案非整数：若解出 $N$ 不是整数却写「恰好」，先回头检查两组数据是否自洽，或改题干使解为整数。
4. 植树封闭图形：圆、方框周长上种树，棵数 = 段数，不要再 +1。
5. 盈亏分子：一盈一亏相加；两次都盈或都亏相减，别用反。
6. 统筹排序方向：短作业优先是升序（耗时短的在前），不是长的在前。

13.7 自测练习

1. 圆形湖周长 1500 米，每隔 5 米一棵柳树，共几棵？
2. 铅笔奖给学生，每人 5 支少 14 支；每人 3 支少 2 支。学生几人？铅笔几支？
3. 一片草地，8 头牛吃 15 天，12 头牛吃 9 天。按此生长速度，多少头牛恰好吃 6 天？
4. 全班 40 人租船，大船坐 6 人、小船坐 4 人，恰好坐满且无空位，有几种租法？
5. 三台机器检修分别要 2、5、8 小时（单人单机），如何安排使三人总等待时间（各人等前面人修完的时间之和，不含自己检修时间）最短？最短是多少？

参考答案

1. 封闭：$1500/5=$ 300 棵。
2. $(14-2)/(5-3)=6$ 人，铅笔 $5\times 6-14=$ 16 支。
3. $(8-r)\times 15=(12-r)\times 9\Rightarrow 120-15r=108-9r\Rightarrow r=2$，$M=(8-2)\times 15=90$。6 天需 $N=M/6+r=15+2=$ 17 头（整数解，与「恰好」一致）。
4. $6x+4y=40\Rightarrow 3x+2y=20$，x=0,2,4,6…y≥0：x=0,y=10；x=2,y=7；x=4,y=4；x=6,y=1。共 4 种。
5. 短作业优先：2→5→8。总等待（不含自己）$=0+2+(2+5)=$ 9 小时；
   （若改问含自己的总占用时间，则 $3\times 2+2\times 5+1\times 8=24$ 小时。）

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