附录 核心公式速查表
用法：考前 30 分钟只看本附录；考场卡住时默念“信号词 → 题型 → 公式”。
A.1 分主题公式表
A.1.1 和差倍比与年龄
| 主题 | 公式 / 结论 | 备注 |
|---|---|---|
| 和差 | 大 =（和 + 差）÷ 2；小 =（和 − 差）÷ 2 | 一步出，必拿 |
| 和倍 | 大 = 和 × 大占几份 ÷ 总份数 | 先找份数 |
| 差倍 | 差 ÷（倍 − 1）= 小 | 大 = 小 × 倍 |
| 年龄 | 年龄差不变；过 n 年每人 +n | 抓“差不变” |
| 比例 | a:b = ma:mb；内项积 = 外项积 | 可设一份为 k |
A.1.2 工程问题
| 主题 | 公式 / 结论 | 备注 |
|---|---|---|
| 基本量 | 工作总量 W = 工作效率 P × 工作时间 t | 三量知二求一 |
| 合作 | P合 = P₁ + P₂ + …；t合 = W ÷ P合 | 同时开工效率相加 |
| 交替合作 | 以“周期工作量”为单位计算 | 先算一周期完成多少 |
| 赋值法 | 总量赋为各时间最小公倍数；效率 = 总量 ÷ 时间 | 工程题首选 |
| 比例 | W 一定时，P ∝ 1/t | 效率与时间成反比 |
A.1.3 行程问题
| 主题 | 公式 / 结论 | 备注 |
|---|---|---|
| 基本量 | 路程 s = 速度 v × 时间 t | — |
| 相遇 | 路程和 =（v₁ + v₂）× t；t = 路程和 ÷ 速度和 | 同时出发 |
| 追及 | 路程差 =（v₁ − v₂）× t；t = 路程差 ÷ 速度差 | 快追慢 |
| 流水 | 顺流 = 船 + 水；逆流 = 船 − 水；船 =（顺 + 逆）÷ 2 | 水速 =（顺 − 逆）÷ 2 |
| 火车过桥 | s = 桥长 + 车长 | 过杆 s = 车长 |
| 比例行程 | s 一定：v ∝ 1/t | 典型“速度比 = 时间反比” |
| 多次相遇 | 两端出发第 n 次：路程和 =（2n − 1）× 全程 | 画图确认 |
A.1.4 利润与价格
| 主题 | 公式 / 结论 | 备注 |
|---|---|---|
| 利润 | 利润 = 售价 − 成本 | — |
| 利润率 | 利润率 = 利润 ÷ 成本 × 100% | 除以成本，不是售价 |
| 售价 | 售价 = 成本 ×（1 + 利润率） | — |
| 折扣 | 折后价 = 定价 × 折扣（如八折 = ×0.8） | 折扣打在定价上 |
| 贡献/多卖 | 总利润 = 单件利润 × 数量 | 分段时分开算 |
A.1.5 浓度与溶液
| 主题 | 公式 / 结论 | 备注 |
|---|---|---|
| 浓度 | 浓度 = 溶质 ÷ 溶液 × 100% | 溶液 = 溶质 + 溶剂 |
| 混合 | 溶质守恒：c₁m₁ + c₂m₂ = c混(m₁ + m₂) | 首选方程 |
| 蒸发/加水 | 只变溶液或只变溶质，列守恒式 | — |
| 十字交叉 | 浓度差之比 = 溶液量反比 | 两两混合速算 |
A.1.6 容斥问题
| 主题 | 公式 / 结论 | 备注 |
|---|---|---|
| 两集合 | A∪B = A + B − A∩B；都不 = 总 − A∪B | 基础必拿 |
| 三集合 | A∪B∪C = (A+B+C) − (AB+AC+BC) + ABC | Σ单 − Σ两两 + 三交 |
| 标准型 | 条件给“两两交、三交”时直接套 | — |
| 只满足两项 | 需分块画文氏图，勿直接套标准式 | 易错点 |
| 至少一项 | 总 = 都不 + 至少一项 | 反向更简单 |
A.1.7 排列组合与概率
| 主题 | 公式 / 结论 | 备注 |
|---|---|---|
| 排列 | A(n, m) = n! / (n − m)! | 与顺序有关 |
| 组合 | C(n, m) = n! / [m!(n − m)!]；C(n, m) = C(n, n−m) | 与顺序无关 |
| 分类加法 | 各类互斥 → 方法数相加 | 不重不漏 |
| 分步乘法 | 各步连续 → 方法数相乘 | — |
| 捆绑法 | 相邻问题：先捆成一个再整体排列 | 内部再排 |
| 插空法 | 不相邻问题：先排无限制，再插空 | — |
| 插板法 | n 个相同物分 m 组（每组 ≥1）：C(n−1, m−1) | 相同元素 |
| 错位重排 | D2=1, D3=2, D4=9, D5=44, D6=265 | 都不对号 |
| 概率 | P = 满足情况数 ÷ 总情况数；对立：1 − P对立 | 复杂正面难算用对立 |
| 独立重复 | 事件互不影响时概率相乘 | — |
A.1.8 最值问题
| 主题 | 公式 / 结论 | 备注 |
|---|---|---|
| 最不利（保证） | 答案 = 最坏情况数 + 1 | “至少……保证……” |
| 和定最值 | 和一定：求某量最大 → 其他尽量小 | 极端构造 |
| 极值构造 | 问“最大/最小可能” → 构造极端分配 | 先满足约束 |
| 多集合至少 | 常结合容斥做极端 | 画图辅助 |
| 最值 + 整数 | 优先考虑整数边界 | 答案多在端点 |
A.1.9 植树与盈亏
| 主题 | 公式 / 结论 | 备注 |
|---|---|---|
| 直线两端栽 | 棵数 = 路长 ÷ 间距 + 1 | 段数 + 1 |
| 直线只栽一端 | 棵数 = 段数 = 路长 ÷ 间距 | — |
| 直线两端都不栽 | 棵数 = 段数 − 1 | 易漏 |
| 环形 | 棵数 = 段数 = 周长 ÷ 间距 | — |
| 楼梯/锯木 | 锯 m 段需 (m − 1) 次；上楼层数 = 楼层 − 1 | 易错 |
| 盈亏基本 | 人数 =（盈 + 亏）÷ 两次每人分配差 | 同盈/同亏取差 |
| 一盈一亏 | （盈 + 亏）÷ 差 | — |
| 双盈 / 双亏 | （大盈 − 小盈）÷ 差；（大亏 − 小亏）÷ 差 | — |
| 鸡兔同笼 | 假设全是鸡：兔 =（总脚 − 2×头）÷ 2 | 与盈亏同构 |
A.1.10 等差与等比数列
| 主题 | 公式 / 结论 | 备注 |
|---|---|---|
| 等差通项 | aₙ = a₁ + (n − 1)d | — |
| 等差求和 | Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 = n a₁ + n(n−1)d ÷ 2 | — |
| 等差中项 | 2b = a + c（a, b, c 等差） | — |
| 性质 | 若 m + n = p + q，则 aₘ + aₙ = aₚ + a_q | 速算用 |
| 等比通项 | aₙ = a₁ · q^(n−1) | — |
| 等比求和 | Sₙ = a₁(1 − qⁿ) ÷ (1 − q)（q ≠ 1） | q = 1 时 S = n a₁ |
| 等比中项 | b² = a · c（a, b, c 等比） | — |
A.1.11 不定方程与数字特性
| 主题 | 公式 / 结论 | 备注 |
|---|---|---|
| 奇偶 | 奇 + 奇 = 偶；奇 − 奇 = 偶；偶 ± 偶 = 偶；奇 ± 偶 = 奇；奇 × 奇 = 奇；奇 × 偶 = 偶 | 先排除选项 |
| 整除 | “平均分、恰好、正好” → 答案被 n 整除 | — |
| 尾数 | 只看个位运算：0–9 方幂有循环 | 大数计算 |
| 不定方程 | ax + by = c：先用奇偶/整除/尾数缩小 | 选项代入更快 |
| 质合 | 2 是唯一偶质数；质数拆分常考 | — |
| 代入选项 | 四个选项具体且正向难列式时直接代 | 考场利器 |
A.2 信号词 → 题型速判表
| 看到这些词 / 句式 | 立刻想到 | 首选动作 |
|---|---|---|
| 单独完成、合作、效率、工作量、天数 | 工程问题 | 赋总量（时间最小公倍数）或列 1/a + 1/b |
| 速度、路程、相遇、追及、同时出发、水流、船速、火车过桥 | 行程问题 | 画线段图；和 = 相遇，差 = 追及 |
| 进价、成本、售价、定价、折扣、利润率、利润 | 利润问题 | 写公式链：售 = 本 ×（1 + 利润率） |
| 浓度、盐水、糖水、蒸发、加水、混合 | 浓度问题 | 溶质守恒 / 十字交叉 |
| 既……又……、至少一项、都不、参加、报名、及格 | 容斥问题 | 两集合公式；三集合或“只满足两项”画图 |
| 排列、组合、选人、选代表、排队、相邻、不相邻、方案数 | 排列组合 | 分类/分步；相邻捆绑、不相邻插空 |
| 概率、可能性、机会、随机抽取 | 概率问题 | P = 满足 ÷ 总；正面难算用对立 |
| 至少……才能保证、最大、最小、最多、至少 | 最值问题 | “保证”类 = 最不利 + 1 |
| 间隔、每隔、栽树、锯木、楼层、路灯 | 植树 / 计数 | 两端 +1；环形 = 段数 |
| 盈、亏、分东西、分组多出/少出 | 盈亏问题 | 人数 =（盈 + 亏）÷ 分配差 |
| 年龄、岁数、几年前、几年后 | 年龄问题 | 抓年龄差不变 |
| 星期、周期、循环、重复出现、第 n 次 | 周期问题 | 余数定位；算清“起始偏移” |
| 平均、和差、倍数、比例、几分之几 | 和差倍比 | 和差公式 / 份数法 |
| 鸡兔、头脚、两种单价 | 鸡兔同笼 | 假设法 |
| 方程、整数解、非负、自然数 | 不定方程 | 奇偶 + 整除 + 代入 |
| 公差、等差、后项减前项、aₙ、求和 | 等差数列 | 通项 + 求和公式 |
| 翻倍、增长率固定、q 倍 | 等比 / 复利 | 通项；注意 n 的含义 |
| 边长、面积、体积、圆、三角形、周长 | 几何问题 | 画图 + 公式；勾股、相似 |
| 找规律、填数、数列空缺（无应用背景） | 数字推理 | 先差分、再看比、再看幂 |
速判口诀（可默念）：
工程赋总量，行程画线段；
利润写单价，浓度守溶质；
容斥画圈圈，排列先分类；
保证加个一，周期看余数。
A.3 常用数字速记
A.3.1 平方数（1～30）
| n | n² | n | n² | n | n² |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 11 | 121 | 21 | 441 |
| 2 | 4 | 12 | 144 | 22 | 484 |
| 3 | 9 | 13 | 169 | 23 | 529 |
| 4 | 16 | 14 | 196 | 24 | 576 |
| 5 | 25 | 15 | 225 | 25 | 625 |
| 6 | 36 | 16 | 256 | 26 | 676 |
| 7 | 49 | 17 | 289 | 27 | 729 |
| 8 | 64 | 18 | 324 | 28 | 784 |
| 9 | 81 | 19 | 361 | 29 | 841 |
| 10 | 100 | 20 | 400 | 30 | 900 |
补充平方（高频）： 31² = 961，32² = 1024，35² = 1225，40² = 1600，45² = 2025，50² = 2500。
A.3.2 立方数（1～15）
| n | n³ | n | n³ | n | n³ |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 6 | 216 | 11 | 1331 |
| 2 | 8 | 7 | 343 | 12 | 1728 |
| 3 | 27 | 8 | 512 | 13 | 2197 |
| 4 | 64 | 9 | 729 | 14 | 2744 |
| 5 | 125 | 10 | 1000 | 15 | 3375 |
A.3.3 常见勾股数（整数直角边）
| 勾股组 (a, b, c) | 常见倍数 | 对应平方关系 |
|---|---|---|
| (3, 4, 5) | (6,8,10) (9,12,15) (12,16,20) (15,20,25) | 9+16=25 |
| (5, 12, 13) | (10,24,26) | 25+144=169 |
| (8, 15, 17) | (16,30,34) | 64+225=289 |
| (7, 24, 25) | — | 49+576=625 |
| (9, 40, 41) | — | 81+1600=1681 |
| (20, 21, 29) | — | 400+441=841 |
| (12, 35, 37) | — | 144+1225=1369 |
【速记】优先背 3-4-5、5-12-13、8-15-17、7-24-25；考场见直角三角形边长，先想是否整数倍勾股数。
A.3.4 错位重排数（都不对应）
| n | Dₙ（错位排列数） | 记忆 |
|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 个元素必然对应 |
| 2 | 1 | AB 互换 |
| 3 | 2 | |
| 4 | 9 | |
| 5 | 44 | |
| 6 | 265 | |
| 7 | 1854 | 较少考 |
递推（了解即可）： Dₙ = (n − 1)(Dₙ₋₁ + Dₙ₋₂)，且 D₁ = 0，D₂ = 1。
A.3.5 π 及圆相关常用值
| 表达式 | 近似值 | 用途 |
|---|---|---|
| π | 3.1415926…（常用 3.14） | 圆周长、面积 |
| 2π | ≈ 6.28 | 周长 C = 2πr |
| 3π | ≈ 9.42 | — |
| 4π | ≈ 12.56 | 球表面积 S = 4πr² 中的系数 |
| 6π | ≈ 18.84 | — |
| π/2 | ≈ 1.57 | — |
| π² | ≈ 9.87（≈10） | 估算 |
| 1/π | ≈ 0.318 | 反算半径 |
| √2 | ≈ 1.414 | 正方形对角线 |
| √3 | ≈ 1.732 | 等边三角形高 = (√3/2)a |
| √5 | ≈ 2.236 | — |
| √6 | ≈ 2.449 | — |
圆 / 扇形 / 球速查：
| 图形 | 公式 |
|---|---|
| 圆周长 | C = 2πr = πd |
| 圆面积 | S = πr² |
| 扇形弧长 | l = (n°/360°) × 2πr |
| 扇形面积 | S = (n°/360°) πr² = (1/2) l r |
| 球体积 | V = (4/3)πr³ |
| 球表面积 | S = 4πr² |
| 圆柱体积 | V = πr²h |
| 圆锥体积 | V = (1/3)πr²h |
A.3.6 其他高频数字
| 数 | 速记 |
|---|---|
| 1～25 和 | 325（= 25×26÷2） |
| 1～100 和 | 5050 |
| 2 的幂 | 2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024 |
| 3 的幂 | 3,9,27,81,243,729 |
| 11～20 平方差 | (a+b)(a−b) 快速算 |
| 常见百分数 | 1/3≈33.3%；1/6≈16.7%；1/8=12.5%；3/8=37.5%；5/8=62.5%；1/7≈14.3% |
附录使用建议：
| 时间点 | 看什么 |
|---|---|
| 考前 1 天 | A.1 全表过一遍，标出不熟的 |
| 进考场前 30 分钟 | 只看标红行 + A.2 口诀 + A.3 平方/勾股 |
| 考中卡壳 | 心里默念 A.2 信号词 → 题型 → 对应 A.1 公式 |
本手册为学习讲义，请配合真题限时训练使用。祝备考顺利。
附篇 边缘高频考点补丁
本篇说明：本篇为边缘考点补充，专补主干各章未展开、却在国考省考中反复出现的冷门高频模型。全书正文讲主干，本篇堵漏；体例与主手册一致：考情/识别信号 → 核心公式 → 解题步骤 → 例题（【例题】【解析】【点睛】）→ 易错 → 自测。
使用建议：不必从头精读，按「信号词速查表」定位薄弱节，考前 2～3 天过一遍公式 + 例题即可。
考情口径（全书统一）：国考副省级 15 题（建议 15～18 分钟）；地市级 / 行政执法类 10 题（建议 10～12 分钟）。