补1　时钟问题

补1.1 考情与识别信号

考情：国考与省考偶发冷门，通常 1 题，难度不高但易算错角度方向。属「知道公式 30 秒出，不知道空着急」型。

识别信号：钟面、时针分针、夹角、重合、成一条直线、成直角、某点到某点之间。

补1.2 核心公式与结论

量	速度/公式
时针	0.5°/分钟（360° ÷ 720 分）
分针	6°/分钟（360° ÷ 60 分）
分针追时针（相对速度）	5.5°/分钟
H 点 M 分时，时针位置	30H + 0.5M（度）
H 点 M 分时，分针位置	6M（度）
两针夹角	θ = abs(30H − 5.5M)（或 ∣30H − 5.5M∣）；若 θ > 180°，取 360° − θ

三个经典时刻（H 点整之后）：

重合：分针追上时针，t = 30H ÷ 5.5 = 60H ÷ 11（分钟）
成一直线（夹角 180°）：t = (30H + 180) ÷ 5.5 = (60H + 360) ÷ 11（分钟）
成直角（夹角 90°）：t = (30H ± 90) ÷ 5.5（一小时内通常有两个）

注：公式中 H 取「整点数」，t 为该整点后经过的分钟数。求 12 小时内某状态出现几次，用相对运动周期：重合每 720/11 ≈ 65.45 分一次。

补1.3 解题步骤

定基准：以某整点为 0，写出时针、分针角度（或直接用上表公式）。
列方程：夹角条件 → |30H − 5.5M| = 目标角或 = 360° − 目标角；重合 → 两角相等。
解分钟数：解出 M（或 t），检查是否落在题设时段内。
验角：把 M 代回，确认夹角取锐角/钝角与题意一致。

补1.4 例题精讲

例1 时钟夹角与重合

3 点 20 分，时针与分针的夹角是多少度？若从 3 点整起算，两针第一次重合、第一次成一直线各在 3 点几分？

【解析】

第一问：3 点 20 分夹角

时针角度：30×3 + 0.5×20 = 90 + 10 = 100°
分针角度：6×20 = 120°
夹角：|120 − 100| = 20°（≤ 180°，直接取）

第二问：3 点后第一次重合

从 3:00 起，时针在 90°，分针在 0°，分针以 5.5°/分追：

t = 90 ÷ 5.5 = 180/11 = 16又4/11（分）

即 3 点 16又4/11 分 重合。

第三问：3 点后第一次成一直线

两针成 180°：|5.5t − 90| = 180

5.5t − 90 = 180 → t = 270 ÷ 5.5 = 540/11 = 49又1/11（分）
5.5t − 90 = −180 → t < 0，舍去

即 3 点 49又1/11 分 成一直线。

【点睛】

夹角公式 |30H − 5.5M| 一步出，算完记得 超过 180° 就用 360° 减。
重合/成直线本质是追及：路程差 90°（重合）或 90°+180°（成直线），相对速度 5.5°/分。
分数结果 4/11、1/11 是常态，不要硬化成小数再四舍五入选选项。

补1.5 易错警示

角度方向：夹角默认取不大于 180° 的那个角，别把 20° 算成 340°。
时针在动：H 点 M 分时时针不是停在 30H，必须加 0.5M。
相对速度用错：追及用 5.5，不是 6，也不是 0.5。
时段条件：题问「3～4 点之间」，解出的 t 必须落在 0～60 分。

补1.6 自测练习

自测 1　4 点整后，两针第一次重合在 4 点几分？

自测 2　6 点 30 分，时针与分针夹角是多少度？

自测 1：t = 30×4 ÷ 5.5 = 120 ÷ 5.5 = 240/11 = 21又9/11（分），即 4 点 21又9/11 分。

自测 2：时针 30×6 + 0.5×30 = 180 + 15 = 195°；分针 6×30 = 180°；夹角 |195 − 180| = 15°。