补2 方阵问题
补2.1 考情与识别信号
考情：省考与事业单位联考中频，国考偶见。常与「最外层人数」「增加一行一列」结合，套对母公式即可。
识别信号：排成方阵、正方形队列、最外层/最里层、实心/空心方阵、每边人数。
补2.2 核心公式与结论
实心方阵（每边 n 人）：
| 量 | 公式 |
|---|---|
| 总人数 | N = n² |
| 最外层人数 | 4n − 4（= 4(n−1)） |
| 相邻两层人数差 | 8 人 |
| 层数关系 | 每向内一层，每边人数 −2 |
| k 层总数（最外层每边 n） | n² − (n−2k)²（当 n > 2k） |
空心方阵（最外层每边 n，共 m 层）：
- 总人数 =
n² − (n−2m)²（外实心减去内实心） - 或逐层相加：最外层
4n−4，向内每层 −8 总人数 = 最外层人数 × m − 4m(m−1)
速算口诀：
方阵总数边平方，外层减四再乘四；里外相邻差个八，空心用大平方减小平方。
补2.3 解题步骤
- 定 n：由「每边 n 人」或「总人数 n²」反求边长（开方，注意取正整数）。
- 算外层：
4n − 4。 - 空心：先算外实心
n²，再算内空心边长n − 2×层数，相减。 - 验层数：相邻层差 8，可用逐层相加验算总人数。
补2.4 例题精讲
例2 方阵人数
某校排演团体操：
（1）用 144 人排成一个实心方阵，最外层有多少人？
（2）若改成最外层每边 8 人的 3 层空心方阵，共需多少人？
【解析】
（1）实心
n² = 144→n = 12- 最外层
4×12 − 4 = 48 − 4 = 44（人）
（2）3 层空心，最外层每边 8
- 方法一（平方差）：内空心每边
8 − 2×3 = 2总 = 8² − 2² = 64 − 4 = 60（人） - 方法二（逐层加）：
最外层4×8−4 = 28
第二层28 − 8 = 20
第三层20 − 8 = 1228 + 20 + 12 = 60（人）
两种方法一致，60 人。
【点睛】
- 实心看 n² 与 4n−4 两个数即可。
- 空心首选「大平方减小平方」：内边 = 外边 − 2×层数。
- 「增加一行一列」变式：
(n+1)² − n² = 2n + 1，即多2n+1人。
补2.5 易错警示
- 外层不是 4n：四角各 1 人被两条边重复，必须 减 4。
- 空心层数与边长：向内一层，每边 减 2（左右各收 1），不是减 1。
- 总人数开方：n 人排方阵必须
n = √N为正整数；若题给「每边 n 人」，总数是 n²，别再乘别的。 - 相邻层差 8：只对 n ≥ 3 的层成立；最里层可能只剩 1 人或 2×2，单独验。
补2.6 自测练习
自测 1 10×10 实心方阵，最外层多少人？最外层比最里层多多少人？
自测 2 一个 2 层空心方阵，最外层每边 10 人，总人数多少？
自测 1：外层 4×10 − 4 = 36 人。最里层是中心 2×2，4×2 − 4 = 4 人。多 36 − 4 = 32 人。（或：层差 8，10 人边长对应 5 个“半层”，外比最内多 8×4 = 32。）
自测 2：内边 10 − 2×2 = 6；10² − 6² = 100 − 36 = 64 人。逐层：36 + 28 = 64。