补3　比赛场次

补3.1 考情与识别信号

考情：与排列组合联动，常作「小题送分」或综合题的一问。识别对了几乎不丢分。

识别信号：单循环、双循环、两两比赛、淘汰赛、决出冠军、场次、握手。

补3.2 核心公式与结论

赛制	场次公式	说明
单循环（每两队赛 1 场）	C(n,2) = n(n−1)/2	无序，甲 vs 乙 = 乙 vs 甲
双循环（主客场，每两队赛 2 场）	n(n−1) = 2C(n,2)	有序
淘汰赛（输一场即出局，决出 1 冠军）	n − 1 场	与是否轮空无关
握手问题	同单循环	n 人两两握手

延伸：

• 分两组再组内单循环 + 交叉赛：组内 C(a,2)+C(b,2)，交叉 a×b。
• 「场次求 n」：解 n(n−1)/2 = M 的正整数解，常用 n² ≈ 2M 估后验。
• 淘汰赛若要「取前 k 名」且每场淘汰 1 人，需淘汰 n−k 人，场次 n−k（仅当赛制保证每场恰淘汰 1 人）。

补3.3 解题步骤

1. 辨赛制：单 / 双 / 淘汰 / 握手，对号入座。
2. 列公式：不排列具体赛程，直接用组合数。
3. 注意「队」还是「人」：淘汰赛的 n 是参赛者个数。
4. 求 n 时：估根后代回 n(n−1)/2 验证。

补3.4 例题精讲

例3 比赛场次

某单位组织羽毛球赛：

（1）8 支球队单循环，共多少场？
（2）若改为双循环（主客场），多少场？
（3）若改为单淘汰决出冠军，至少多少场？若再取亚军（即决出前两名），共多少场？

【解析】

（1）单循环：C(8,2) = 8×7÷2 = 28（场）

（2）双循环：8×7 = 56（场）

（3）单淘汰决出冠军：每场淘汰 1 队，需淘汰 7 队 → 7 场。
决出前两名：一般淘汰赛结束后，决赛的负者即亚军，仍为 7 场（不需要加赛）。

【点睛】

• 单、双只差一个 ×2。
• 淘汰赛记 「一场定生死」：场次 = n − 1。
• 握手、单循环、互发贺信（单向不算）与 C(n,2) 同构；互发贺信（单向）用 n(n−1)，同双循环。

补3.5 易错警示

1. 单循环误用 n(n−1)：甲乙只赛 1 场，必须除以 2。
2. 淘汰赛误用 C(n,2)：淘汰赛不会两两都碰面。
3. 「场次」与「人次数」：一场比赛涉及 2 队，若问「共多少人次出场」才是 2×场次。
4. 轮空不增加淘汰场次：有轮空时仍是 n − 1。

补3.6 自测练习

自测 1　10 个同学两两互通一次电话，共通话多少次？

自测 2　31 支队伍单淘汰决冠军，共几场？若改为 31 队双循环，几场？

自测 1：C(10,2) = 45 次。

自测 2：淘汰 31 − 1 = 30 场；双循环 31×30 = 930 场。

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