补4　过河与爬井

补4.1 考情与识别信号

考情：经典小学奥数模型，行测偶考变式。分「过河渡船」与「青蛙爬井（蜗牛爬树）」两支，公式固定。

识别信号：船每次载几人、需要划回来接人；白天爬几米、夜里滑几米、井深/杆高。

补4.2 核心公式与结论

过河（船须 1 人划回，每次载 m 人含划船者）：

• 往返一轮（去+回）净运对岸：m − 1 人
• 最后一趟运 m 人后 不再返回
• 渡河次数（船从起点到对岸的次数）

$$次数=\lceil \frac{N-1}{m-1}\rceil$$

（N 为总人数，含划船者；⌈ ⌉ 为向上取整）

爬井（杆高 H，白天上 a，夜滑 b，且 a > b）：

• 最后一天 爬出后不再下滑
• 天数

$$天数=\lceil \frac{H-a}{a-b}\rceil +1(H>a)$$

若 H ≤ a，则 1 天爬出。

更稳妥的逐日法：列出「每日结束高度」，达到 H 当日即止。

补4.3 解题步骤

1. 过河：认清「谁划船、每次几人、要不要回来」；套次数公式或列净运表。
2. 爬井：用公式一步出，或画进度条逐日模拟到突破 H。
3. 验最后一步：最后一趟/最后一天往往「不再返回、不再下滑」，这是易错根。

补4.4 例题精讲

例4 过河次数

（1）37 人要过河，只有一条小船，每次最多坐 5 人（其中 1 人划船），船每到对岸必须有人划回。至少要渡河多少次才能把人全部送到对岸？

（2）井深 10 米，青蛙从井底白天向上爬 3 米，夜里下滑 2 米。它几天能爬出井口？

【解析】

（1）过河

1. 每次载 5 人，1 人划回 → 往返净运 5 − 1 = 4 人
2. 最后一趟 5 人到岸后不用回
3. 设船到对岸 x 次：前 x−1 次各净运 4 人，第 x 次运 5 人

4(x − 1) + 5 ≥ 37
4(x − 1) ≥ 32
x − 1 ≥ 8
x ≥ 9

即 9 次。

验算：前 8 个往返运 8×4 = 32 人到岸，第 9 次运 5 人，32+5 = 37。

（2）爬井

• 前期每日净升 3 − 2 = 1 米
• 最后一天白天爬 3 米即可出井，故先算「还差多少到能在白天一口爬出」
• 代入公式：(10 − 3) ÷ 1 = 7，向上取整 7，7 + 1 = 8（天）

逐日验算：

天	白天结束高度	夜里结束高度
1	3	1
2	4	2
3	5	3
4	6	4
5	7	5
6	8	6
7	9	7
8	10（出井）	—

8 天爬出。

【点睛】

• 过河口诀：「去 m 回 1，净运 m−1；最后一趟不回头。」
• 爬井口诀：「末日不滑；天数 = ⌈(H−a)/(a−b)⌉+1。」
• 若船夫不占人数（单独一人划船），公式改为 ⌈N/(m)⌉ 与往返调整，读题务必看清「是否含船夫」。

补4.5 易错警示

1. 过河漏掉「最后一趟不返回」：直接用 N ÷ (m−1) 会多算或少算 1 次。
2. 爬井按「每天净升 1 米」硬除：10 ÷ 1 = 10 天是错的，因为第 8 天白天就出去了。
3. a ≤ b：白天爬不赢夜里滑，永远出不去（除非 H ≤ a）。
4. 次数 vs 趟数：题目问「渡河几次」一般指到岸次数 x，不是往返次数 x−1。

补4.6 自测练习

自测 1　41 人过河，每次船载 6 人（含 1 名划船者），至少渡河几次？

自测 2　一只蜗牛爬 12 米高杆，白天爬 4 米，夜里滑 2 米，几天到顶？

自测 1：每次载 6 人含 1 名划船者，往返净运 6−1 = 5 人。设到岸 x 次，前 x−1 次各净运 5 人，第 x 次运 6 人：
5(x−1) + 6 ≥ 41 → 5(x−1) ≥ 35 → x−1 ≥ 7 → x ≥ 8。
验：x=8 时 5×7+6 = 41，恰好；x=7 时 5×6+6 = 36 < 41。至少 8 次。

自测 2：(12 − 4) ÷ (4 − 2) = 4，4 + 1 = 5 天。验：4 天夜末 8 米，第 5 天白爬 4 米到 12 米。

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