§31 数量关系零基础专章（工程 / 行程 / 利润…）

与资料分析对称：先白话术语 → 再公式 → 再分步步骤 → 再 8 道例题。
配套方法见 §13–§20（代入、特值、比例、十字交叉）；本章把三大高频题型拆到能独立做。

31.0 数量关系怎么入门（先读这 80 秒）

资料分析	数量关系
材料里已有一堆数	题干给的数往往更少，甚至只给比例
目标：算准到选项精度	目标：设得巧，让式子变简单
主武器：截位、特征数字	主武器：特值（赋总量）、比例、代入、方程

数量关系通用三板斧（按顺序想）：

mermaid

flowchart TD
  A[读题] --> B{只给了比例/时间/倍数?}
  B -->|是| C[特值法: 赋总量/成本/溶液]
  B -->|否| D{方程好列吗?}
  D -->|好列不好解| E[代入排除]
  D -->|好解| F[设小不设大: 设份数]
  C --> G[列式计算]
  E --> G
  F --> G
  G --> H[对选项, 够了就停]

时间纪律： 单题超过 90 秒还没有方向，先跳过，最后回来或蒙一个有依据的。

31.1 工程问题

速算视角：赋值总工作量＝时间公倍，效率相加。

解法真源：《数量关系手册》第四章工程问题。

31.1.5 例题（8 道）

例 31.1｜最基础合作

题：一项工程，甲单独 12 天完成，乙单独 18 天完成。甲乙合作需要几天？
项： A. 6.5　B. 7.2　C. 8.0　D. 9.0
答： B
解：
1. W=LCM(12,18)=36
2. 甲 P=3，乙 P=2，合 P=5
3. t=36÷5=7.2
拨：也可用公式 $1 \div (\frac{1}{12} + \frac{1}{18})$ ，但赋值更好口算。

例 31.2｜合作后一人离开

题：甲 10 天，乙 15 天。合作 4 天后甲离开，乙再做几天完成？
项： A. 4　B. 5　C. 6　D. 7
答： B
解：
1. W=30；甲 P=3，乙 P=2
2. 合作 4 天：(3+2)×4=20
3. 剩 30−20=10
4. 乙单独：10÷2=5 天

例 31.3｜只给效率比

题：甲的效率是乙的 2 倍，两人合作 6 天完成。乙单独需要多少天？
项： A. 12　B. 15　C. 18　D. 20
答： C
解：
1. 设乙效率=1，则甲=2，合作效率=3
2. W=3×6=18
3. 乙单独：18÷1=18 天
拨：只给倍数时，按倍数赋效率，再反推总量。

例 31.4｜三人合作

题：甲 10 天、乙 15 天、丙 30 天，三人合作需几天？
项： A. 4　B. 5　C. 6　D. 8
答： B
解： W=30；P=3+2+1=6；t=30÷6=5。

例 31.5｜进水排水

题：一池水，单开进水管 10 小时注满，单开排水管 15 小时排空。两管齐开，几小时注满？
项： A. 20　B. 25　C. 30　D. 35
答： C
解：
1. 赋 W=LCM(10,15)=30
2. 进 P=3，排 P=2（出水为负）
3. 合效率=3−2=1
4. t=30÷1=30 小时

例 31.6｜交替工作（简化）

题：甲 6 天、乙 12 天完成同一工程。甲乙轮流各做 1 天（甲先做），完成时甲共做了几天？
项： A. 3　B. 4　C. 5　D. 6
答： B
解：
1. W=12；甲 P=2，乙 P=1
2. 一个周期（甲1天+乙1天）完成 2+1=3
3. 12÷3=4 个整周期，正好做完
4. 每周期甲做 1 天 ⇒ 甲共 4 天

例 31.7｜中途加入

题：甲单独 20 天。甲先做 8 天后乙加入，两人又一起做 4 天完成。乙单独需多少天？
项： A. 8　B. 10　C. 12　D. 15
答： B
解：
1. W=20；甲 P=1
2. 甲共做 8+4=12 天，完成 12
3. 乙做 4 天完成剩余 8 ⇒ 乙 P=2
4. 乙单独：20÷2=10 天
拨：先算「甲一共干了多少」，剩余工作量归乙。

例 31.8｜比效率更直观

题：甲乙效率比 3:2，合作 15 天完成。甲单独需？
项： A. 20　B. 25　C. 30　D. 35
答： B
解：
1. 设甲 P=3，乙 P=2，合 P=5
2. W=5×15=75
3. 甲单独：75÷3=25 天

31.2 行程问题

速算视角：相遇用速度和、追及用速度差；比例法可省方程。

解法真源：《数量关系手册》第五章行程问题。

31.2.4 例题（8 道）

例 31.9｜相遇

题：甲乙相距 300 km，甲速 40 km/h，乙速 60 km/h，相向而行，几小时相遇？
项： A. 2　B. 3　C. 4　D. 5
答： B
解： (40+60)×t=300 ⇒ t=3。

例 31.10｜追及

题：快车 80 km/h，慢车 50 km/h，同地同向出发，慢车先走 1 小时，快车几小时追上？
项： A. 1　B. 5/3　C. 2　D. 3
答： B
解：慢车先走 50 km；速度差 30；t=50÷30=5/3 小时。

例 31.11｜等距离平均速度

题：去时 60 km/h，回时 40 km/h，全程平均速度？
项： A. 48　B. 50　C. 52　D. 55
答： A
解： $v ˉ = 2 \times 60 \times 40/ (60 + 40) = 4800/100 = * * 48 * *$ 。
拨：不是 (60+40)/2=50；等距离才用调和平均。

例 31.12｜迟到模型

题：原速 50 km/h 迟到 8 分钟；提速到 60 km/h 迟到 2 分钟。路程？
项： A. 15　B. 20　C. 25　D. 30
答： D
解：
$s /50 - s /60 = (8 - 2) /60$
$s \times (1/300) = 0.1$ ⇒ s=30 km

例 31.13｜比例（路程一定）

题：路程不变，速度从 60 提到 80，时间变为原来的？
项： A. 3/4　B. 4/3　C. 2/3　D. 3/2
答： A
解：反比：60/80=3/4。

例 31.14｜流水行船

题：船在静水中 20 km/h，水速 5 km/h。顺水、逆水速度各是？
项： A. 25 与 15　B. 25 与 20　C. 20 与 15　D. 30 与 10
答： A
解：顺=20+5=25；逆=20−5=15。

例 31.15｜火车过桥

题：火车长 200 m，桥长 800 m，车速 72 km/h=20 m/s，过桥需？
项： A. 40 s　B. 50 s　C. 60 s　D. 70 s
答： B
解：路程=200+800=1000 m；t=1000/20=50 s。
拨：过桥路程=车长+桥长。

例 31.16｜速度比求时间比

题：甲乙速度比 2:3，走同一段路，时间比？
项： A. 2:3　B. 3:2　C. 4:9　D. 9:4
答： B
解： s 一定，时间与速度反比 ⇒ 3:2。

31.3 利润问题

速算视角：设成本为单位 1；利润率始终按成本或售价的同一口径计算。

解法真源：《数量关系手册》第六章利润与经济问题。

31.3.5 例题（8 道）

例 31.17｜基础利润率

题：成本 100，售价 140，利润率？
项： A. 20%　B. 28.6%　C. 40%　D. 140%
答： C
解：利润=40；40/100=40%（分母是成本）。

例 31.18｜已知利润率求售价

题：成本 200，利润率 25%，售价？
项： A. 220　B. 240　C. 250　D. 260
答： C
解：售价=200×(1+25%)=250。

例 31.19｜已知售价和利润率求成本

题：售价 240，利润率 20%，成本？
项： A. 180　B. 200　C. 210　D. 220
答： B
解：成本=240÷1.2=200。

例 31.20｜折扣后利润率

题：打八折后利润率为 5%，原标价对应的成本为 100，原利润率？
项： A. 20%　B. 25%　C. 30%　D. 31.25%
答： D
解：
1. 成本 100，折后售价=100×1.05=105
2. 原标价=105÷0.8=131.25
3. 原利润率=(131.25−100)/100=31.25%

例 31.21｜利润是成本的百分之几

题：某商品利润是成本的 20%，售价 240，成本？
项： A. 180　B. 200　C. 210　D. 220
答： B
解： 1.2C=240 ⇒ C=200。

例 31.22｜多件总利润

题：单件成本 50，售价 70，卖 200 件，总利润？
项： A. 2000　B. 3000　C. 4000　D. 5000
答： C
解：单件利润=20；总利润=20×200=4000。

例 31.23｜混合利润（十字交叉）

题：甲商品利润率 10%，乙商品 30%（单位成本相同），若按件数混合后总利润率 20%，甲:乙？
项： A. 1:1　B. 2:1　C. 1:2　D. 3:1
答： A
解：十字：(30−20):(20−10)=10:10=1:1。
拨：利润率加权的权重是成本；单位成本相同时件数比=成本比，才可按件数做十字。成本不同时应按成本混合。

例 31.24｜保本点

题：每件成本 40，售价 60，固定摊销 2000，至少卖多少件保本？
项： A. 80　B. 100　C. 120　D. 150
答： B
解：单件贡献=20；件数=2000÷20=100。

31.4 浓度问题（常与利润并列出现）

速算视角：溶质守恒；浓度混合可用十字交叉快速求比例。

解法真源：《数量关系手册》第七章浓度问题。

例题（4 道，补足体系）

例 31.25｜稀释

题： 100 g 20% 盐水，加水 50 g，浓度？
项： A. 10%　B. 13.3%　C. 15%　D. 16%
答： B
解：溶质=20；溶液=150；20/150≈13.3%。

例 31.26｜混合浓度

题： 20% 与 50% 按质量 2:1 混合，浓度？
项： A. 25%　B. 30%　C. 33.3%　D. 35%
答： B
解： (20×2+50×1)/3=90/3=30%。

例 31.27｜十字交叉求比

题： 10% 与 25% 混成 16%，质量比？
项： A. 3:2　B. 2:3　C. 3:1　D. 5:4
答： A
解： (25−16):(16−10)=9:6=3:2。

例 31.28｜蒸发

题： 200 g 15% 盐水，蒸发掉多少水后浓度变为 20%？
项： A. 30　B. 40　C. 50　D. 60
答： C
解：溶质=30 不变；需溶液=30÷0.2=150；蒸发=200−150=50。

31.5 和差倍比与年龄（数量关系另一半基础）

速算视角：年龄差恒定；和差倍比优先转成份数关系。

解法真源：《数量关系手册》第三章和差倍比 · 年龄 · 周期。

31.5.2 例题（4 道）

例 31.29｜和倍

题：两数和 90，大数是小数 2 倍，大数？
项： A. 30　B. 45　C. 60　D. 70
答： C
解：小=90÷3=30；大=60。

例 31.30｜差倍

题：两数差 18，大数是小数 4 倍，小数？
项： A. 4　B. 6　C. 8　D. 9
答： B
解：小=18÷(4−1)=6。

例 31.31｜年龄

题：甲乙年龄和 50，5 年后甲是乙的 2 倍，今年甲？
项： A. 25　B. 30　C. 32　D. 35
答： D
解： 5 年后和=60；乙后=60÷3=20；乙今=15；甲今=50−15=35。

例 31.32｜连比

题：甲:乙=2:3，乙:丙=4:5，则甲:乙:丙=？
项： A. 2:3:5　B. 8:12:15　C. 6:9:10　D. 4:6:9
答： B
解：统一乙为 12 ⇒ 8:12:15。

31.6 数量关系阶梯训练（与 §28 对称）

Level A｜工程口算

题	条件	答
A1	甲 12 天乙 18 天合作	7.2 天
A2	甲 10 天乙 15 天丙 30 天合作	5 天
A3	效率比 3:2，合作 15 天，甲单独	25 天
A4	甲 20 天做 8 天后乙加入又 4 天完成，乙单独	10 天
A5	进 10 时排 15 时齐开注满	30 时

Level B｜行程口算

题	条件	答
B1	相距 300，速 40 与 60 相向	3 小时
B2	去 60 回 40 平均速度	48
B3	速度 60→80，时间比	3/4
B4	船 20 水 5，顺/逆	25 与 15
B5	迟到模型 50/60，差 6 分钟	路程 30 km

Level C｜利润与浓度

题	条件	答
C1	成本 100 售价 140	利润率 40%
C2	售价 240 利润率 20%	成本 200
C3	打八折后利润率 5%	原利润率 31.25%
C4	100g 20% 加水 50g	浓度 13.3%
C5	10% 与 25% 混成 16%	质量比 3:2

达标： Level A/B/C 全对且每题 ≤60 秒，再做《精讲精练题库》数量关系部分。

§31 数量关系零基础专章（工程 / 行程 / 利润…） ​

31.0 数量关系怎么入门（先读这 80 秒） ​

31.1 工程问题 ​

31.1.5 例题（8 道） ​

31.2 行程问题 ​

31.2.4 例题（8 道） ​

31.3 利润问题 ​

31.3.5 例题（8 道） ​

31.4 浓度问题（常与利润并列出现） ​

例题（4 道，补足体系） ​

31.5 和差倍比与年龄（数量关系另一半基础） ​

31.5.2 例题（4 道） ​

31.6 数量关系阶梯训练（与 §28 对称） ​

Level A｜工程口算 ​

Level B｜行程口算 ​

Level C｜利润与浓度 ​